Usando a definição do versor ou vetor unitário determinar \beta nos seguintes vetores e encontrar esses vetores:
\vec{v}=\left(5, \frac{3}{2},-\beta\right).

Passo 1

O enunciado dá o vetor \vec{v}=\left(5,\tfrac{3}{2},-\beta\right) e pede para determinar \beta usando a definição de versor (vetor unitário) e “encontrar esses vetores”.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O vetor é \displaystyle \vec{v}=\left(5,\tfrac{3}{2},-\beta\right).
  • Um versor (vetor unitário) é um vetor com norma (módulo) igual a 1.
  • Devemos aplicar a condição \|\vec{v}\|=1 para achar \beta (se existir).

Passo 2

Lembrando a definição e a fórmula da norma de um vetor em \mathbb{R}^3:
  • A norma (módulo) de um vetor \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) é
\|\vec{a}\|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}.
Aqui a_1, a_2 e a_3 são as componentes do vetor; a raiz quadrada garante que a norma é não negativa. Para que \vec{v} seja versor, devemos ter
\|\vec{v}\|=1.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao vetor dado:
\|\vec{v}\|=\sqrt{5^2+\left(\tfrac{3}{2}\right)^2+(-\beta)^2}=\sqrt{25+\tfrac{9}{4}+\beta^2}.
Impondo \|\vec{v}\|=1 obtemos a equação
\sqrt{25+\tfrac{9}{4}+\beta^2}=1.

Passo 4

Elevando ao quadrado ambos os lados para eliminar a raiz:
25+\tfrac{9}{4}+\beta^2=1.
Passando os termos numéricos para o segundo membro e escrevendo com denominador comum:
\beta^2 = 1 - 25 - \tfrac{9}{4} = \tfrac{4}{4} - \tfrac{100}{4} - \tfrac{9}{4} = -\tfrac{105}{4}.
Então
\beta^2 = -\tfrac{105}{4}.

Passo 5

Interpretação do resultado:
  • Como o lado direito é negativo, não existe \beta real que satisfaça \beta^2=-\tfrac{105}{4}. Portanto não há solução real: não existe \beta\in\mathbb{R} que torne \vec{v} um versor real.
  • Se aceitarmos soluções complexas, então
\beta=\pm \mathrm{i}\,\frac{\sqrt{105}}{2},
onde \mathrm{i} é a unidade imaginária. Para esses valores complexos de \beta, as componentes do vetor ficam complexas; em particular os vetores correspondentes são
\vec{v}=\left(5,\tfrac{3}{2},-\beta\right)=\left(5,\tfrac{3}{2},\mp \mathrm{i}\,\frac{\sqrt{105}}{2}\right),
e esses vetores (complexos) têm norma igual a 1 no sentido da norma euclidiana estendida a \mathbb{C}^3.

Resposta

Não existe \beta real que torne \vec{v} um versor.
Soluções complexas: \displaystyle \beta=\pm \mathrm{i}\,\frac{\sqrt{105}}{2} e os vetores correspondentes são \displaystyle \vec{v}=\left(5,\tfrac{3}{2},\mp \mathrm{i}\,\frac{\sqrt{105}}{2}\right).

Exercícios relacionados