Usando a definiçãoo formal de limite,proureque
lim x 3(4 x-5)=7

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer provar que o limite de quando se aproxima de 3 é igual a 7. Isso envolve o conceito de limite na matemática, especificamente usando a definição formal de limite, que utiliza os conceitos de (epsilon) e (delta) para fazer essa prova.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição formal de limite. Dizemos que:
limx to a f(x) = L
significa que para todo , existe um tal que, se , então .
No nosso caso, temos , e queremos provar que .

Passo 3

Vamos aplicar essa definição ao nosso problema. Queremos que:
|f(x) - 7| < varepsilon
Substituindo |4x - 5 - 7| = |4x - 12| = 4|x - 3| por , temos:
Então, queremos que .

Passo 4

Para garantir que 4|x - 3| < varepsilon implies |x - 3| < varepsilon4 , podemos manipular a desigualdade:
de
Isso nos dá uma escolha natural para . Podemos definir:

Passo 5

Então, sempre que |4x - 5 - 7| = 4|x - 3| < varepsilon , onde , teremos:
Isso satisfaz a definição formal do limite.

Resposta

Portanto, usando a definição formal de limite, provamos que:
limx 3(4x - 5) = 7

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