Usando derivação implícita, calcule d y / d x onde
x^{2}+y-y^{2}=4
(2 pts)

Passo 1

Enunciado e objetivo: temos a equação
x^{2}+y-y^{2}=4
O que o problema pede: calcular \dfrac{dy}{dx} (a derivada de y em relação a x) usando derivação implícita. Informação dada: a relação entre x e y acima vale para todos os pares (x,y) considerados (logo y é, em princípio, uma função de x).

Passo 2

Ideia da derivação implícita e notação: como y depende de x (ou seja, y=y(x)), ao diferenciarmos termos que envolvem y devemos aplicar a regra da cadeia. Vou usar a notação y'=\dfrac{dy}{dx}. Regras que usamos:
  • Derivada de x^{2} em relação a x é 2x.
  • Derivada de y em relação a x é y', porque y é função de x.
  • Derivada de y^{2} em relação a x: aplicar regra da cadeia. Se u=y(x), a derivada de u^{2} é 2u\cdot u'. Substituindo u=y temos 2y\cdot y'.
  • Derivada de constante 4 é 0.

Passo 3

Agora aplico a diferenciação termo a termo à igualdade. Diferenciando ambos os lados em relação a x:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(y\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(y^{2}\bigr)=\frac{d}{dx}(4).
Substituindo as derivadas que listamos:
2x + y' - 2y\,y' = 0.

Passo 4

Isolando y': agrupo os termos que têm y'
2x + y'(1-2y)=0.
Passo 2x para o outro lado:
y'(1-2y) = -2x.
Agora divido ambos os lados por (1-2y). Observação didática: só podemos dividir por (1-2y) se (1-2y)\neq 0; se (1-2y)=0 então a expressão indica que a derivada não é finita (possível tangente vertical) — isso é um detalhe que pode aparecer na prova, bom ficar atento.

Passo 5

Fazendo a divisão obtemos a fórmula final para a derivada:
y'=\frac{-2x}{1-2y}.
Uma forma equivalente, às vezes mais limpa, é
y'=\frac{2x}{2y-1}.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2x}{2y-1}

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