Usando derivação implícita, calcule
onde
(2 pts)
Passo 1
Enunciado e objetivo: temos a equação
O que o problema pede: calcular
(a derivada de
em relação a
) usando derivação implícita. Informação dada: a relação entre
e
acima vale para todos os pares
considerados (logo
é, em princípio, uma função de
).
Passo 2
Ideia da derivação implícita e notação: como
depende de
(ou seja,
), ao diferenciarmos termos que envolvem
devemos aplicar a regra da cadeia. Vou usar a notação
. Regras que usamos:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é , porque é função de . - Derivada de
em relação a : aplicar regra da cadeia. Se , a derivada de é . Substituindo temos . - Derivada de constante
é .
Passo 3
Agora aplico a diferenciação termo a termo à igualdade. Diferenciando ambos os lados em relação a
:
Substituindo as derivadas que listamos:
Passo 4
Isolando
: agrupo os termos que têm
Passo
para o outro lado:
Agora divido ambos os lados por
. Observação didática: só podemos dividir por
se
; se
então a expressão indica que a derivada não é finita (possível tangente vertical) — isso é um detalhe que pode aparecer na prova, bom ficar atento.
Passo 5
Fazendo a divisão obtemos a fórmula final para a derivada:
Uma forma equivalente, às vezes mais limpa, é