Potencial de uma carga puntiforme Determine o potencial elétrico no ponto de uma carga puntiforme, onde o módulo de seu campo é
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o potencial elétrico no ponto de uma carga puntiforme.
Informações dadas e símbolos relevantes:
Informações dadas e símbolos relevantes:
- O módulo do campo elétrico é
. -
é a carga puntiforme (pode ser positiva ou negativa). -
é a distância do ponto considerado até a carga (ou seja, a coordenada radial). -
é a permissividade do vácuo.
O que precisamos encontrar explicitamente: uma expressão para o potencial elétricocomo função de (até uma constante aditiva), e a forma usual adotando a referência .
Passo 2
Vamos relacionar campo elétrico e potencial elétrico. Em situações com simetria radial (carga pontual) o campo tem apenas componente radial
e a relação entre campo e potencial é
Explicação do que isso significa:
é uma função que dá o potencial em cada distância
. A derivada
mede como o potencial varia quando mudamos um pouco a distância; o sinal negativo diz que o campo aponta na direção em que o potencial decresce. Aqui
é o módulo do campo na direção radial (positivo se apontar para fora, mas na fórmula do enunciado já está dado o módulo).
Passo 3
Usamos a igualdade entre o campo dado e a expressão via derivada. Como o enunciado nos deu o módulo do campo, tomamos
Substituindo em
obtemos a equação diferencial
Isolando
fica
Passo 4
Agora integramos para obter
. É preciso escolher uma condição de referência para o potencial; a escolha física mais comum é
. Integrando de
até
:
Como escolhemos
, isso vira
Calcule a integral:
. Aplicando os limites,
Passo 5
Substituindo o valor da integral em
obtemos
Comentário sobre constantes: se você não fixar
, a solução geral é
onde
é uma constante arbitrária (referência de potencial). A escolha
corresponde à convenção
que usamos aqui. Observação física: para
o potencial é positivo; para
o potencial é negativo. Também note que
diverge quando
— isso significa que no ponto exato da carga puntiforme o potencial não é finito.
Passo 6
Resumo didático rápido para a prova (modo “cola mental”): conhecendo
com simetria radial, use
, isole
, integre entre a referência (normalmente
) e
, e aplique os limites. Não esqueça do sinal negativo ao integrar e da constante de integração se a referência não for dada. Força aí — você manda bem!