Potencial de uma carga puntiforme Determine o potencial elétrico no ponto de uma carga puntiforme, onde o módulo de seu campo é E=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o potencial elétrico no ponto de uma carga puntiforme.
Informações dadas e símbolos relevantes:
  • O módulo do campo elétrico é E=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{q}{r^{2}}.
  • q é a carga puntiforme (pode ser positiva ou negativa).
  • r é a distância do ponto considerado até a carga (ou seja, a coordenada radial).
  • \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo.
    O que precisamos encontrar explicitamente: uma expressão para o potencial elétrico V como função de r (até uma constante aditiva), e a forma usual adotando a referência V(\infty)=0.

Passo 2

Vamos relacionar campo elétrico e potencial elétrico. Em situações com simetria radial (carga pontual) o campo tem apenas componente radial E_{r} e a relação entre campo e potencial é
E_{r} = -\frac{dV}{dr}.
Explicação do que isso significa: V(r) é uma função que dá o potencial em cada distância r. A derivada \dfrac{dV}{dr} mede como o potencial varia quando mudamos um pouco a distância; o sinal negativo diz que o campo aponta na direção em que o potencial decresce. Aqui E_{r} é o módulo do campo na direção radial (positivo se apontar para fora, mas na fórmula do enunciado já está dado o módulo).

Passo 3

Usamos a igualdade entre o campo dado e a expressão via derivada. Como o enunciado nos deu o módulo do campo, tomamos
E_{r}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q}{r^{2}}.
Substituindo em E_{r}=-\dfrac{dV}{dr} obtemos a equação diferencial
-\frac{dV}{dr}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q}{r^{2}}.
Isolando dV fica
dV = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q}{r^{2}}\,dr.

Passo 4

Agora integramos para obter V(r). É preciso escolher uma condição de referência para o potencial; a escolha física mais comum é V(\infty)=0. Integrando de r'=\infty até r' = r:
V(r)-V(\infty) = -\int_{\infty}^{r}\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q}{r'^{2}}\,dr'.
Como escolhemos V(\infty)=0, isso vira
V(r) = -\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}}\int_{\infty}^{r}\frac{1}{r'^{2}}\,dr'.
Calcule a integral: \displaystyle \int \frac{1}{r'^{2}}\,dr' = -\frac{1}{r'}. Aplicando os limites,
\int_{\infty}^{r}\frac{1}{r'^{2}}\,dr' = \left[-\frac{1}{r'}\right]_{\infty}^{r} = \left(-\frac{1}{r}\right) - \left(0\right) = -\frac{1}{r}.

Passo 5

Substituindo o valor da integral em V(r) obtemos
V(r) = -\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}}\left(-\frac{1}{r}\right) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q}{r}.
Comentário sobre constantes: se você não fixar V(\infty)=0, a solução geral é
V(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q}{r} + C,
onde C é uma constante arbitrária (referência de potencial). A escolha C=0 corresponde à convenção V(\infty)=0 que usamos aqui. Observação física: para q>0 o potencial é positivo; para q<0 o potencial é negativo. Também note que V(r) diverge quando r\to 0 — isso significa que no ponto exato da carga puntiforme o potencial não é finito.

Passo 6

Resumo didático rápido para a prova (modo “cola mental”): conhecendo E_{r}(r) com simetria radial, use E_{r}=-dV/dr, isole dV, integre entre a referência (normalmente \infty) e r, e aplique os limites. Não esqueça do sinal negativo ao integrar e da constante de integração se a referência não for dada. Força aí — você manda bem!

Resposta

V(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q}{r}

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