Seja
ma função contínua tal que
Passo 1
O enunciado dá uma função contínua
que satisfaz a igualdade
O que se pede (inferido do enunciado clássico) é determinar todas as funções
que satisfazem essa condição sob a hipótese de continuidade. Informações relevantes que temos:
- Domínio e contradomínio:
. - Continuidade de
em todos os pontos de . - Equação funcional aditiva:
para todo .
Passo 2
Primeiro fato simples: o valor de
em
. Substitui
na equação funcional:
Como
, a expressão à esquerda é
. Logo
Subtraindo
dos dois lados obtemos
Esse é um passo padrão: qualquer função aditiva deve enviar
em
.
Passo 3
Agora mostramos que
é ímpar:
. Use
e
na equação:
Como
e
, temos
Portanto
Passo 4
Mostramos que
é homogênea em inteiros: para todo inteiro
e todo real
vale
Prova para
por indução:
- Base
: . - Passo indutivo: suponha
. Então
Para
já temos
. Para inteiros negativos, use o item anterior:
Assim a fórmula vale para todo
.
Passo 5
Agora estendemos para racionais. Seja
,
. Substitua
por
na igualdade do Passo 4:
O lado esquerdo é
. Logo
Seja agora
com
. Usando homogeneidade inteira e o resultado acima,
Em particular, tomando
obtemos, para todo racional
,
Ou seja: em todos os racionais
é uma função linear com coeficiente
.
Passo 6
Agora usamos a continuidade para passar dos racionais para todos os reais. Seja
. Escolha uma sequência de racionais
tal que
(isso é possível porque os racionais são densos em
). Para cada
temos, pelo Passo 5,
Passe ao limite quando
. Como
é contínua e
, o lado esquerdo converge para
. O lado direito converge para
. Portanto
Esse é o passo crucial: a continuidade permite trocar limite e aplicação de
e garante que a relação válida nos racionais estenda-se a todos os reais.
Passo 7
Verificação e unicidade: defina
. A função
satisfaz claramente a propriedade aditiva:
e é contínua. Como mostramos que qualquer
contínua e aditiva deve ser da forma
, concluímos que todas as soluções contínuas são exatamente as funções lineares de coeficiente real
.
Passo 8
Exemplos simples para fixar a ideia:
- Se
então para todo (função nula). - Se
então (identidade). - Se
então , etc.
Esses exemplos satisfazem a equação e a continuidade.
Passo 9
Comentário final rápido (útil para prova): a hipótese de continuidade é essencial para excluir soluções “crazies” da equação de Cauchy. Sem continuidade (ou outra hipótese como monotonicidade, limite em um ponto, ou mensurabilidade), existem funções não-lineares que satisfazem
. Mas com continuidade, a solução é simplesmente
.