Usando derivação, integração, desvio
ou a convolução (e mostrand os detalhes do que fizer), encontre
se
for igual a:
Passo 1
O enunciado dá a transformada de Laplace de uma função
:
A pergunta é: encontrar
tal que sua transformada de Laplace seja essa expressão. As informações relevantes são: o denominador tem a forma
(um quadrado de soma de quadrados) e o numerador é
. Não há figura nem informação extra.
Passo 2
Vamos reconhecer padrões: quando vemos um termo
em vez de
, isso costuma indicar um fator exponencial
na função original (teorema do deslocamento na variável
). Antes de aplicar isso, identifiquemos uma transformada conhecida cuja forma sem o deslocamento seja parecida com
Vou mostrar qual função tem essa transformada (isso já prepara o terreno para inserir depois o deslocamento
).
Passo 3
Recordando a transformada de Laplace da senoide: temos
Uma propriedade útil é que multiplicar a função por
corresponde a derivar com sinal menos a transformada em
; mais precisamente:
Vou justificar essa propriedade rapidamente: escrevendo a transformada como integral,
Derivando em
e trocando derivação e integral (condições usuais de convergência assumidas),
Assim confirmamos a fórmula
.
Passo 4
Aplique essa propriedade a
. Como
, temos
Calcule a derivada:
Então
Portanto a transformada que encontramos antes
corresponde exatamente a
.
Passo 5
Agora use o teorema do deslocamento/exponenciação: se
, então
No nosso caso queremos expressões com
; isso corresponde a
. Ou seja,
Tomando
e
, temos
que é exatamente a transformada dada no enunciado.
Passo 6
Portanto a função original
cuja transformada de Laplace é a dada é simplesmente o produto de
pelo fator exponencial
:
Posso reescrever de forma mais usual como
. Essa função vale para
(domínio usual da transformada de Laplace).