Usando derivação, integração, desvio \boldsymbol{s} ou a convolução (e mostrand os detalhes do que fizer), encontre f(t) se \mathscr{L}(f) for igual a:
\frac{2(s+2)}{\left[(s+2)^{2}+1\right]^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a transformada de Laplace de uma função f(t):
\mathscr{L}\{f\}(s)=\frac{2(s+2)}{\bigl[(s+2)^{2}+1\bigr]^{2}}.
A pergunta é: encontrar f(t) tal que sua transformada de Laplace seja essa expressão. As informações relevantes são: o denominador tem a forma \bigl[(s+2)^2+1\bigr]^2 (um quadrado de soma de quadrados) e o numerador é 2(s+2). Não há figura nem informação extra.

Passo 2

Vamos reconhecer padrões: quando vemos um termo (s+2) em vez de s, isso costuma indicar um fator exponencial e^{-2t} na função original (teorema do deslocamento na variável s). Antes de aplicar isso, identifiquemos uma transformada conhecida cuja forma sem o deslocamento seja parecida com
\frac{2s}{(s^{2}+1)^{2}}.
Vou mostrar qual função tem essa transformada (isso já prepara o terreno para inserir depois o deslocamento s\mapsto s+2).

Passo 3

Recordando a transformada de Laplace da senoide: temos
\mathscr{L}\{\sin t\}(s)=\frac{1}{s^{2}+1}.
Uma propriedade útil é que multiplicar a função por t corresponde a derivar com sinal menos a transformada em s; mais precisamente:
\mathscr{L}\{t\,g(t)\}(s)=-\frac{d}{ds}\bigl(\mathscr{L}\{g\}(s)\bigr).
Vou justificar essa propriedade rapidamente: escrevendo a transformada como integral,
\mathscr{L}\{g\}(s)=\int_{0}^{\infty} g(t)\,e^{-st}\,dt.
Derivando em s e trocando derivação e integral (condições usuais de convergência assumidas),
\frac{d}{ds}\mathscr{L}\{g\}(s)=\int_{0}^{\infty} g(t)\,\frac{\partial}{\partial s}\bigl(e^{-st}\bigr)\,dt =\int_{0}^{\infty} g(t)\,(-t)\,e^{-st}\,dt=-\mathscr{L}\{t\,g(t)\}(s).
Assim confirmamos a fórmula \mathscr{L}\{t\,g(t)\}(s)=-\dfrac{d}{ds}\mathscr{L}\{g\}(s).

Passo 4

Aplique essa propriedade a g(t)=\sin t. Como \mathscr{L}\{\sin t\}(s)=\dfrac{1}{s^{2}+1}, temos
\mathscr{L}\{t\sin t\}(s)=-\frac{d}{ds}\left(\frac{1}{s^{2}+1}\right).
Calcule a derivada:
\frac{d}{ds}\left(\frac{1}{s^{2}+1}\right)=\frac{d}{ds}\bigl((s^{2}+1)^{-1}\bigr)=-1\cdot (s^{2}+1)^{-2}\cdot 2s=-\frac{2s}{(s^{2}+1)^{2}}.
Então
\mathscr{L}\{t\sin t\}(s)=-\left(-\frac{2s}{(s^{2}+1)^{2}}\right)=\frac{2s}{(s^{2}+1)^{2}}.
Portanto a transformada que encontramos antes \dfrac{2s}{(s^{2}+1)^{2}} corresponde exatamente a t\sin t.

Passo 5

Agora use o teorema do deslocamento/exponenciação: se \mathscr{L}\{g\}(s)=G(s), então
\mathscr{L}\{e^{a t} g(t)\}(s)=G(s-a).
No nosso caso queremos expressões com s+2; isso corresponde a a=-2. Ou seja,
\mathscr{L}\{e^{-2t} g(t)\}(s)=G(s+2).
Tomando g(t)=t\sin t e G(s)=\dfrac{2s}{(s^{2}+1)^{2}}, temos
G(s+2)=\frac{2(s+2)}{\bigl[(s+2)^{2}+1\bigr]^{2}},
que é exatamente a transformada dada no enunciado.

Passo 6

Portanto a função original f(t) cuja transformada de Laplace é a dada é simplesmente o produto de t\sin t pelo fator exponencial e^{-2t}:
f(t)=e^{-2t}\,t\sin t.
Posso reescrever de forma mais usual como f(t)=t\,e^{-2t}\sin t. Essa função vale para t\ge 0 (domínio usual da transformada de Laplace).

Resposta

f(t)=t\,e^{-2t}\sin t

Exercícios relacionados