Questão 9 Esboce o gráfico da função
indicando onde é crescente, decrescente, e onde muda a concavidade.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
e indicar:
- onde a função é crescente e onde é decrescente;
- onde muda a concavidade (pontos de inflexão) e em quais intervalos é côncava para cima ou para baixo.
Informações dadas: a expressão explícita deacima. A partir dela vamos calcular derivadas, achar pontos críticos e pontos de inflexão, e usar esses dados para desenhar o esboço e descrever os intervalos pedidos.
Passo 2
Vamos calcular a primeira derivada
. Lembrete rápido: a derivada diz o coeficiente angular da reta tangente em cada ponto — se
a função sobe (é crescente) naquele ponto; se
ela desce (é decrescente). Usamos a regra do poder:
.
Derivando termo a termo:
Portanto
Passo 3
Encontrar pontos críticos: são os
onde
ou onde
não existe (aqui
existe sempre). Vamos resolver
Fatorando o quadrático:
Logo as raízes são
e
. Esses são os pontos críticos potenciais onde a monotonicidade pode mudar.
Passo 4
Analisar o sinal de
para determinar crescente/decrescente. Como
é um polinômio de grau 2 com coeficiente líder positivo, seu sinal é:
- positivo para
(fora do intervalo entre raízes), - negativo para
(entre as raízes), - positivo para
(fora das raízes).
Expresso em intervalos:
Portanto
é crescente em
e decrescente em
.
Passo 5
Classificar os extremos em
e
. Usando a mudança de sinal de
:
- Em
: passa de positivo (à esquerda) para negativo (à direita) ⇒ máximo local em . - Em
: passa de negativo para positivo ⇒ mínimo local em .
Calcule os valores de
nesses pontos (útil para o esboço):
Assim temos máximo local em
e mínimo local em
.
Passo 6
Agora a concavidade: calculamos a segunda derivada
. Lembrete:
indica como a inclinação está mudando — se
a função é côncava para cima (curva “aberta para cima”), se
é côncava para baixo. Pontos onde
são candidatos a pontos de inflexão (quando a concavidade troca de sinal).
Derivando
:
Resolver
dá
. Este é o candidato a ponto de inflexão. Verificamos o sinal:
- Para
, ⇒ concavidade para baixo. - Para
, ⇒ concavidade para cima.
Portanto há troca de concavidade em
e é realmente um ponto de inflexão. Calcule seu valor:
Ponto de inflexão em
.
Passo 7
Com tudo isso podemos esboçar mentalmente (ou no papel) o gráfico e anotar os detalhes importantes para o desenho:
- Comportamento nas extremidades: como o termo dominante é
com coeficiente positivo, quando temos e quando temos . - Pontos notáveis: máximo local em
, mínimo local em , ponto de inflexão em . - Monotonicidade: crescente em
até o máximo, decrescente em passando pelo ponto de inflexão em , e crescente em após o mínimo. - Concavidade: côncava para baixo em
, côncava para cima em .
Para o esboço prático: marque os três pontos acima, desenhe uma curva que sobe até
, desce passando por
mudando de curvatura ali, atinge
e então sobe para
.
Resposta
Crescente:
Decrescente:
Máximo local:
Mínimo local:
Ponto de inflexão (mudança de concavidade):
Concavidade para baixo:
Concavidade para cima:
Decrescente:
Máximo local:
Mínimo local:
Ponto de inflexão (mudança de concavidade):
Concavidade para baixo:
Concavidade para cima: