Questão 9 Esboce o gráfico da função
f(x)=\frac{x^{3}}{3}-2 x^{2}+3 x-1
indicando onde é crescente, decrescente, e onde muda a concavidade.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
f(x)=\frac{x^{3}}{3}-2x^{2}+3x-1
e indicar:
  • onde a função é crescente e onde é decrescente;
  • onde muda a concavidade (pontos de inflexão) e em quais intervalos é côncava para cima ou para baixo.
    Informações dadas: a expressão explícita de f(x) acima. A partir dela vamos calcular derivadas, achar pontos críticos e pontos de inflexão, e usar esses dados para desenhar o esboço e descrever os intervalos pedidos.

Passo 2

Vamos calcular a primeira derivada f'(x). Lembrete rápido: a derivada diz o coeficiente angular da reta tangente em cada ponto — se f'(x)>0 a função sobe (é crescente) naquele ponto; se f'(x)<0 ela desce (é decrescente). Usamos a regra do poder: \frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
Derivando termo a termo:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{3}}{3}\right)=\frac{1}{3}\cdot 3x^{2}=x^{2},
\frac{d}{dx}(-2x^{2})=-4x,
\frac{d}{dx}(3x)=3,
\frac{d}{dx}(-1)=0.
Portanto
f'(x)=x^{2}-4x+3.

Passo 3

Encontrar pontos críticos: são os x onde f'(x)=0 ou onde f' não existe (aqui f' existe sempre). Vamos resolver
x^{2}-4x+3=0.
Fatorando o quadrático:
x^{2}-4x+3=(x-1)(x-3).
Logo as raízes são x=1 e x=3. Esses são os pontos críticos potenciais onde a monotonicidade pode mudar.

Passo 4

Analisar o sinal de f'(x) para determinar crescente/decrescente. Como f'(x)=(x-1)(x-3) é um polinômio de grau 2 com coeficiente líder positivo, seu sinal é:
  • positivo para x<1 (fora do intervalo entre raízes),
  • negativo para 1<x<3 (entre as raízes),
  • positivo para x>3 (fora das raízes).
Expresso em intervalos:
f'(x)>0 \text{ em } (-\infty,1)\cup(3,\infty),
f'(x)<0 \text{ em } (1,3).
Portanto f é crescente em (-\infty,1)\cup(3,\infty) e decrescente em (1,3).

Passo 5

Classificar os extremos em x=1 e x=3. Usando a mudança de sinal de f':
  • Em x=1: f' passa de positivo (à esquerda) para negativo (à direita) ⇒ máximo local em x=1.
  • Em x=3: f' passa de negativo para positivo ⇒ mínimo local em x=3.
Calcule os valores de f nesses pontos (útil para o esboço):
f(1)=\frac{1^{3}}{3}-2\cdot1^{2}+3\cdot1-1=\frac{1}{3}-2+3-1=\frac{1}{3},
f(3)=\frac{3^{3}}{3}-2\cdot3^{2}+3\cdot3-1=9-18+9-1=-1.
Assim temos máximo local em \left(1,\frac{1}{3}\right) e mínimo local em (3,-1).

Passo 6

Agora a concavidade: calculamos a segunda derivada f''(x). Lembrete: f''(x) indica como a inclinação está mudando — se f''(x)>0 a função é côncava para cima (curva “aberta para cima”), se f''(x)<0 é côncava para baixo. Pontos onde f''(x)=0 são candidatos a pontos de inflexão (quando a concavidade troca de sinal).
Derivando f'(x)=x^{2}-4x+3:
f''(x)=2x-4=2(x-2).
Resolver f''(x)=0 x=2. Este é o candidato a ponto de inflexão. Verificamos o sinal:
  • Para x<2, f''(x)=2(x-2)<0 ⇒ concavidade para baixo.
  • Para x>2, f''(x)>0 ⇒ concavidade para cima.
Portanto há troca de concavidade em x=2 e é realmente um ponto de inflexão. Calcule seu valor:
f(2)=\frac{2^{3}}{3}-2\cdot2^{2}+3\cdot2-1=\frac{8}{3}-8+6-1=\frac{8}{3}-3=-\frac{1}{3}.
Ponto de inflexão em \left(2,-\frac{1}{3}\right).

Passo 7

Com tudo isso podemos esboçar mentalmente (ou no papel) o gráfico e anotar os detalhes importantes para o desenho:
  • Comportamento nas extremidades: como o termo dominante é \frac{x^{3}}{3} com coeficiente positivo, quando x\to-\infty temos f(x)\to -\infty e quando x\to\infty temos f(x)\to\infty.
  • Pontos notáveis: máximo local em \left(1,\frac{1}{3}\right), mínimo local em (3,-1), ponto de inflexão em \left(2,-\frac{1}{3}\right).
  • Monotonicidade: crescente em (-\infty,1) até o máximo, decrescente em (1,3) passando pelo ponto de inflexão em x=2, e crescente em (3,\infty) após o mínimo.
  • Concavidade: côncava para baixo em (-\infty,2), côncava para cima em (2,\infty).
Para o esboço prático: marque os três pontos acima, desenhe uma curva que sobe até \left(1,\frac{1}{3}\right), desce passando por \left(2,-\frac{1}{3}\right) mudando de curvatura ali, atinge (3,-1) e então sobe para \infty.

Resposta

Crescente: (-\infty,1)\cup(3,\infty)
Decrescente: (1,3)
Máximo local: \left(1,\frac{1}{3}\right)
Mínimo local: (3,-1)
Ponto de inflexão (mudança de concavidade): \left(2,-\frac{1}{3}\right)
Concavidade para baixo: (-\infty,2)
Concavidade para cima: (2,\infty)

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