Usando derivação, integração, desvio
ou a convolução (e mostrand os detalhes do que fizer), encontre
se
for igual a:
Passo 1
O enunciado dá a transformada de Laplace de uma função
e pede para encontrarmos
. As informações que temos são:
Nenhuma outra informação foi pedida; nosso objetivo é achar
cuja transformada de Laplace é a expressão acima. Também é útil notar que a expressão tem pólos em
, então a região de convergência será compatível com transformadas de funções exponenciais hiperbólicas (vamos comentar isso quando necessário).
Passo 2
Vou usar uma propriedade muito útil da transformada de Laplace que relaciona derivação em
com multiplicação por
no domínio do tempo. Vou enunciá-la e demonstrá-la de forma simples (isso é importante para você poder usar na prova sem medo).
Propriedade: se
, então
Demonstração curta (intuitiva): diferencie
sob o sinal de integral:
Essa troca de derivação e integral é válida sob hipóteses de regularidade que normalmente se satisfazem nas aplicações da prova (por exemplo,
crescimento exponencial limitado). Na prática, memorize a fórmula
Passo 3
Agora observe a transformada que nos deram:
Vou tentar reescrever essa expressão como uma derivada em
de uma transformada simples, para então usar a propriedade do passo anterior (inversamente).
Calcule a derivada em
da função
:
Daí isolamos
em termos dessa derivada:
Outra forma equivalente, que será mais diretamente útil com a propriedade do passo 2, é
Passo 4
Identifique a transformada inversa de
. Lembrete rápido: as funções hiperbólicas aparecem com transformadas simples:
Vou mostrar por que isso é verdade, de forma direta:
portanto
Esses integrais são geométricos:
como anunciado. (Tudo isso para
para garantir convergência da integral com
.)
Logo, a transformada
corresponde à função
.
Passo 5
Voltando à nossa expressão original e usando as peças que montamos:
Pelo passo 2,
. Como
com
, temos:
Portanto a transformada de
é exatamente a dada. Concluímos que a função no domínio do tempo é
Passo 6
Checagem rápida (para você poder justificar na prova): calcule direto a transformada de
:
confirmação completa. (Se quiser, também dá para resolver por convolução: escrever
e usar convolução entre
e
; o resultado será o mesmo.)