Usando derivação, integração, desvio \boldsymbol{s} ou a convolução (e mostrand os detalhes do que fizer), encontre f(t) se \mathscr{L}(f) for igual a:
\frac{s}{\left(s^{2}-1\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a transformada de Laplace de uma função f e pede para encontrarmos f(t). As informações que temos são:
\mathscr{L}\{f\}(s)=\frac{s}{\left(s^{2}-1\right)^{2}}.
Nenhuma outra informação foi pedida; nosso objetivo é achar f(t) cuja transformada de Laplace é a expressão acima. Também é útil notar que a expressão tem pólos em s=\pm1, então a região de convergência será compatível com transformadas de funções exponenciais hiperbólicas (vamos comentar isso quando necessário).

Passo 2

Vou usar uma propriedade muito útil da transformada de Laplace que relaciona derivação em s com multiplicação por t no domínio do tempo. Vou enunciá-la e demonstrá-la de forma simples (isso é importante para você poder usar na prova sem medo).
Propriedade: se F(s)=\mathscr{L}\{g\}(s)=\displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-st}g(t)\,dt, então
\frac{d}{ds}F(s)=-\mathscr{L}\{t\,g(t)\}(s).
Demonstração curta (intuitiva): diferencie F(s) sob o sinal de integral:
\frac{d}{ds}F(s)=\frac{d}{ds}\int_{0}^{\infty} e^{-st}g(t)\,dt =\int_{0}^{\infty}\frac{\partial}{\partial s}\big(e^{-st}\big)g(t)\,dt =\int_{0}^{\infty}(-t)e^{-st}g(t)\,dt=-\mathscr{L}\{t\,g(t)\}(s).
Essa troca de derivação e integral é válida sob hipóteses de regularidade que normalmente se satisfazem nas aplicações da prova (por exemplo, g(t) crescimento exponencial limitado). Na prática, memorize a fórmula
\mathscr{L}\{t\,g(t)\}(s)=-\frac{d}{ds}\big(\mathscr{L}\{g\}(s)\big).

Passo 3

Agora observe a transformada que nos deram:
\mathscr{L}\{f\}(s)=\frac{s}{\left(s^{2}-1\right)^{2}}.
Vou tentar reescrever essa expressão como uma derivada em s de uma transformada simples, para então usar a propriedade do passo anterior (inversamente).
Calcule a derivada em s da função H(s)=\dfrac{1}{s^{2}-1}:
\frac{d}{ds}\left(\frac{1}{s^{2}-1}\right) = -\frac{2s}{\left(s^{2}-1\right)^{2}}.
Daí isolamos \dfrac{s}{(s^2-1)^2} em termos dessa derivada:
\frac{s}{\left(s^{2}-1\right)^{2}} = -\frac{1}{2}\,\frac{d}{ds}\left(\frac{1}{s^{2}-1}\right).
Outra forma equivalente, que será mais diretamente útil com a propriedade do passo 2, é
\frac{s}{\left(s^{2}-1\right)^{2}} = \frac{1}{2}\left(-\frac{d}{ds}\left(\frac{1}{s^{2}-1}\right)\right).

Passo 4

Identifique a transformada inversa de H(s)=\dfrac{1}{s^{2}-1}. Lembrete rápido: as funções hiperbólicas aparecem com transformadas simples:
\mathscr{L}\{\operatorname{sinh} t\}(s)=\frac{1}{s^{2}-1},\qquad \text{(válido para }s>1\text{)}á
Vou mostrar por que isso é verdade, de forma direta:
\operatorname{sinh} t=\frac{e^{t}-e^{-t}}{2},
portanto
\mathscr{L}\{\operatorname{sinh} t\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\frac{e^{t}-e^{-t}}{2}\,dt =\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}\big(e^{-(s-1)t}-e^{-(s+1)t}\big)\,dt.
Esses integrais são geométricos:
\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-1}-\frac{1}{s+1}\right) =\frac{1}{2}\left(\frac{s+1-(s-1)}{(s-1)(s+1)}\right) =\frac{1}{s^{2}-1},
como anunciado. (Tudo isso para s>1 para garantir convergência da integral com e^{-(s-1)t}.)
Logo, a transformada H(s)=\dfrac{1}{s^{2}-1} corresponde à função h(t)=\operatorname{sinh} t.

Passo 5

Voltando à nossa expressão original e usando as peças que montamos:
\mathscr{L}\{f\}(s) = \frac{s}{\left(s^{2}-1\right)^{2}} = \frac{1}{2}\left(-\frac{d}{ds}\left(\frac{1}{s^{2}-1}\right)\right).
Pelo passo 2, -\dfrac{d}{ds}\big(\mathscr{L}\{h\}(s)\big)=\mathscr{L}\{t\,h(t)\}(s). Como \mathscr{L}\{h\}(s)=\dfrac{1}{s^{2}-1} com h(t)=\operatorname{sinh} t, temos:
\frac{s}{\left(s^{2}-1\right)^{2}}=\frac{1}{2}\,\mathscr{L}\{t\,\operatorname{sinh} t\}(s).
Portanto a transformada de \dfrac{1}{2}\,t\,\operatorname{sinh} t é exatamente a dada. Concluímos que a função no domínio do tempo é
f(t)=\frac{1}{2}\,t\,\operatorname{sinh} t.

Passo 6

Checagem rápida (para você poder justificar na prova): calcule direto a transformada de f(t)=\dfrac{1}{2}t\operatorname{sinh} t:
\mathscr{L}\{f\}(s)=\frac{1}{2}\mathscr{L}\{t\operatorname{sinh} t\}(s) =\frac{1}{2}\left(-\frac{d}{ds}\left(\frac{1}{s^{2}-1}\right)\right) =\frac{1}{2}\cdot\frac{2s}{\left(s^{2}-1\right)^{2}} =\frac{s}{\left(s^{2}-1\right)^{2}},
confirmação completa. (Se quiser, também dá para resolver por convolução: escrever \dfrac{s}{(s^{2}-1)^{2}}=\dfrac{s}{s^{2}-1}\cdot\dfrac{1}{s^{2}-1} e usar convolução entre \operatorname{cosh} t e \operatorname{sinh} t; o resultado será o mesmo.)

Resposta

\displaystyle f(t)=\frac{1}{2}\,t\,\operatorname{sinh} t

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