Usando derivação e integração termo a termo, determine as expansões em séries de potências em torno de x_{0}=0 das seguintes funções e os valores de x para os quais essas expansões são válidas:
\frac{1}{x^{2}+16}

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar a expansão em série de potências em torno de x_{0}=0 da função \dfrac{1}{x^{2}+16} e determinar para quais valores de x essa expansão é válida.
Informações dadas:
  • A função é \dfrac{1}{x^{2}+16}.
  • O centro da expansão é x_{0}=0 (ou seja, queremos a série de Maclaurin).
  • Precisamos também indicar o intervalo (ou raio) de convergência dessa série.

Passo 2

Lembra do que chamamos de série geométrica padrão: para uma variável \,t\, vale a identidade
\frac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^{\infty}t^{n},
válida quando |t|<1. Aqui t é a variável da série e a condição |t|<1 garante convergência absoluta e uniforme em compactos dentro desse disco.
Explicando: nessa fórmula cada termo é t^{n} e a soma infinita representa a função \dfrac{1}{1-t}. Essa é a ferramenta básica que vamos usar (por substituição e, se preciso, por diferenciação/integração termo a termo).

Passo 3

Reescrevemos a função de interesse para encaixar na forma geométrica. Temos
\frac{1}{x^{2}+16}=\frac{1}{16}\cdot\frac{1}{1+\dfrac{x^{2}}{16}}.
Aqui fizemos fatoração: retirei 16 do denominador. Agora defina a variável auxiliar
u:=\frac{x^{2}}{16}.
Com essa mudança a função fica \dfrac{1}{16}\cdot\dfrac{1}{1+u}. Usando a série geométrica para \dfrac{1}{1+u} (substituindo t=-u na série padrão) obtemos
\frac{1}{1+u}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}u^{n},
válida quando |u|<1.

Passo 4

Substituindo u=\dfrac{x^{2}}{16} na série acima e multiplicando por \dfrac{1}{16} obtemos a expansão pedido:
\frac{1}{x^{2}+16}=\frac{1}{16}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\left(\frac{x^{2}}{16}\right)^{n}.
Simplificando as potências de 16:
\frac{1}{x^{2}+16}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{16^{\,n+1}}.
Interpretação dos coeficientes: os termos de ordem ímpar em x são nulos; apenas aparecem potências pares x^{2n} com coeficiente (-1)^{n}/16^{n+1}.

Passo 5

Determinar a região de validade (raio de convergência). A condição |u|<1 com u=\dfrac{x^{2}}{16} fornece
\left|\frac{x^{2}}{16}\right|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad |x|^{2}<16 \quad\Longleftrightarrow\quad |x|<4.
Portanto a série converge para |x|<4. Nos pontos x=\pm 4 temos u=1 e a série se torna \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}, que não converge (os somatórios oscilam), logo os extremos x=\pm4 ficam fora da convergência. Conclusão: intervalo de convergência é (-4,4) (e o raio de convergência é 4).

Passo 6

Para obedecer à instrução de usar diferenciação e integração termo a termo, mostro duas verificações úteis que também ilustram como operar com a série:
  1. Diferenciação termo a termo. Diferenciando a série encontrada (cada termo é uma função polinomial), temos
\frac{d}{dx}\left(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{16^{n+1}}\right)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{2n\,x^{2n-1}}{16^{n+1}},
válida no mesmo intervalo |x|<4. Se diferenciarmos a função original, obtemos
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x^{2}+16}\right)=-\frac{2x}{(x^{2}+16)^{2}}.
As duas expressões concordam quando somadas em série (isso serve como checagem: a derivada da soma é a soma das derivadas dentro do raio de convergência).
  1. Integração termo a termo desde 0 até x. Integramos a série termo a termo:
\int_{0}^{x}\frac{1}{t^{2}+16}\,dt=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{16^{\,n+1}}\int_{0}^{x}t^{2n}\,dt =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{16^{\,n+1}(2n+1)}.
Do lado da função, a integral é conhecida:
\int_{0}^{x}\frac{1}{t^{2}+16}\,dt=\frac{1}{4}\arctan\!\left(\frac{x}{4}\right).
Assim obtemos a famosa série de arctan ao integrar nossa série, e isso confirma que a integração termo a termo é válida para |x|<4.

Resposta

\frac{1}{x^{2}+16}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{16^{\,n+1}},\quad |x|<4.

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