Usando derivação e integração termo a termo, determine as expansões em séries de potências em torno de x_{0}=0 das seguintes funções e os valores de x para os quais essas expansões são válidas: \frac{1}{x^{2}+16}
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar a expansão em série de potências em torno de x_{0}=0 da função \dfrac{1}{x^{2}+16} e determinar para quais valores de x essa expansão é válida.
Informações dadas:
A função é \dfrac{1}{x^{2}+16}.
O centro da expansão é x_{0}=0 (ou seja, queremos a série de Maclaurin).
Precisamos também indicar o intervalo (ou raio) de convergência dessa série.
Passo 2
Lembra do que chamamos de série geométrica padrão: para uma variável \,t\, vale a identidade
\frac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^{\infty}t^{n},
válida quando |t|<1. Aqui t é a variável da série e a condição |t|<1 garante convergência absoluta e uniforme em compactos dentro desse disco.
Explicando: nessa fórmula cada termo é t^{n} e a soma infinita representa a função \dfrac{1}{1-t}. Essa é a ferramenta básica que vamos usar (por substituição e, se preciso, por diferenciação/integração termo a termo).
Passo 3
Reescrevemos a função de interesse para encaixar na forma geométrica. Temos
Aqui fizemos fatoração: retirei 16 do denominador. Agora defina a variável auxiliar
u:=\frac{x^{2}}{16}.
Com essa mudança a função fica \dfrac{1}{16}\cdot\dfrac{1}{1+u}. Usando a série geométrica para \dfrac{1}{1+u} (substituindo t=-u na série padrão) obtemos
\frac{1}{1+u}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}u^{n},
válida quando |u|<1.
Passo 4
Substituindo u=\dfrac{x^{2}}{16} na série acima e multiplicando por \dfrac{1}{16} obtemos a expansão pedido:
Portanto a série converge para |x|<4. Nos pontos x=\pm 4 temos u=1 e a série se torna \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}, que não converge (os somatórios oscilam), logo os extremos x=\pm4 ficam fora da convergência. Conclusão: intervalo de convergência é (-4,4) (e o raio de convergência é 4).
Passo 6
Para obedecer à instrução de usar diferenciação e integração termo a termo, mostro duas verificações úteis que também ilustram como operar com a série:
Diferenciação termo a termo. Diferenciando a série encontrada (cada termo é uma função polinomial), temos
As duas expressões concordam quando somadas em série (isso serve como checagem: a derivada da soma é a soma das derivadas dentro do raio de convergência).
Integração termo a termo desde 0 até x. Integramos a série termo a termo: