Usando derivação e integração termo a termo, determine as expansões em séries de potências em torno de x_{0}=0 das seguintes funções e os valores de x para os quais essas expansões são válidas:
\arctan (3 x)

Passo 1

O enunciado pede: determinar a expansão em série de potências em torno de x_{0}=0 da função \arctan(3x) e indicar para quais valores de x essa expansão é válida.
Informações dadas (explicitando tudo que temos):
  • A função é \arctan(3x).
  • A série pedida deve ser centrada em x_{0}=0 (ou seja, uma série de potências em x).
  • Precisamos também informar o conjunto de x (intervalo ou raio de convergência) onde a expansão é válida.

Passo 2

Observação/estratégia inicial (sem resolver ainda): uma forma prática é usar a derivada de \arctan(3x), expandir essa derivada como série (uso de série geométrica) e depois integrar termo a termo para recuperar \arctan(3x). Isso usa o fato de que dentro do raio de convergência é permitido diferenciar e integrar séries de potências termo a termo.

Passo 3

Calcule a derivada de \arctan(3x). Aplicando a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\big(\arctan(3x)\big)=\frac{3}{1+(3x)^2}=\frac{3}{1+9x^2}.
Expliquei: a derivada de \arctan(u) em relação a x é \frac{u'}{1+u^2}; aqui u=3x e u'=3.

Passo 4

Expansão da função racional \dfrac{1}{1+9x^2} por série geométrica. Escrevo
\frac{1}{1+9x^2}=\frac{1}{1-(-9x^2)}=\sum_{n=0}^{\infty}(-9x^2)^n=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n 9^n x^{2n},
desde que a série geométrica converja, isto é quando |-9x^2|<1, ou seja quando |x|<\tfrac{1}{3}.

Passo 5

Multiplico por 3 (pois a derivada tem fator 3):
\frac{d}{dx}\big(\arctan(3x)\big)=\frac{3}{1+9x^2}=\sum_{n=0}^{\infty} 3(-1)^n 9^n x^{2n}.
Aqui cada termo é 3(-1)^n 9^n x^{2n}.

Passo 6

Agora integro termo a termo. Teorema usado (explicado): se uma série de potências \sum a_n x^n converge num intervalo aberto em torno de 0 (ou seja |x|<R), então podemos integrar (e diferenciar) essa série termo a termo naquele intervalo e a série integrada terá o mesmo raio de convergência interior. Portanto podemos integrar a série da derivada para obter \arctan(3x).
Integrando termo a termo:
\arctan(3x)=\int \left(\sum_{n=0}^{\infty} 3(-1)^n 9^n x^{2n}\right)\,dx =\sum_{n=0}^{\infty} 3(-1)^n 9^n \int x^{2n}\,dx.
A integral de x^{2n} é \dfrac{x^{2n+1}}{2n+1}. Logo
\arctan(3x)=\sum_{n=0}^{\infty} 3(-1)^n 9^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Determino a constante C usando x=0. Como \arctan(0)=0 e todos os termos da soma são múltiplos de x, avaliando em x=0 obtemos 0=C. Portanto C=0. Assim
\arctan(3x)=\sum_{n=0}^{\infty} 3(-1)^n 9^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}.

Passo 8

Simplifico a expressão: 3\cdot 9^n = 3^{2n+1}. Logo a série pode ser escrita de forma compacta como
\arctan(3x)=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(3x)^{2n+1}}{2n+1}.
Escrevo também os primeiros termos para ficar mais concreto:
\arctan(3x)=3x -9x^3 + \frac{243}{5}x^5 - \frac{3^{7}}{7}x^7 + \cdots.

Passo 9

Determino o intervalo/raio de convergência e comportamento nas extremidades. Da expansão da série geométrica usamos a condição |9x^2|<1, ou seja |x|<\tfrac{1}{3}. Então o raio de convergência é R=\tfrac{1}{3}.
Verificação nos pontos extremos:
  • Para x=\tfrac{1}{3} a série torna-se
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{2n+1},
que é uma série alternada com termos \frac{1}{2n+1} monótonos decrescentes para n\to\infty e tendendo a 0; pelo critério de Leibniz (série alternada) converge. O valor limite é \arctan(1)=\tfrac{\pi}{4}.
  • Para x=-\tfrac{1}{3} obtemos a série -\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{2n+1}, que também converge (valor -\tfrac{\pi}{4}).
    Observação sobre convergência absoluta: nos extremos a série não converge absolutamente porque os termos absolutos são \frac{1}{2n+1}, cuja soma diverge (comportamento harmônico). Assim a convergência nos extremos é condicional.

Resposta

\displaystyle \arctan(3x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{(3x)^{2n+1}}{2n+1}=3x-9x^3+\frac{243}{5}x^5-\cdots para |x|<\tfrac{1}{3}, com convergência condicional também em x=\pm\tfrac{1}{3} (valores \pm\tfrac{\pi}{4}).

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