Usando derivação e integração termo a termo, determine as expansões em séries de potências em torno de
das seguintes funções e os valores de
para os quais essas expansões são válidas:
Passo 1
O enunciado pede: determinar a expansão em série de potências em torno de
da função
e indicar para quais valores de
essa expansão é válida.
Informações dadas (explicitando tudo que temos):
Informações dadas (explicitando tudo que temos):
- A função é
. - A série pedida deve ser centrada em
(ou seja, uma série de potências em ). - Precisamos também informar o conjunto de
(intervalo ou raio de convergência) onde a expansão é válida.
Passo 2
Observação/estratégia inicial (sem resolver ainda): uma forma prática é usar a derivada de
, expandir essa derivada como série (uso de série geométrica) e depois integrar termo a termo para recuperar
. Isso usa o fato de que dentro do raio de convergência é permitido diferenciar e integrar séries de potências termo a termo.
Passo 3
Calcule a derivada de
. Aplicando a regra da cadeia:
Expliquei: a derivada de
em relação a
é
; aqui
e
.
Passo 4
Expansão da função racional
por série geométrica. Escrevo
desde que a série geométrica converja, isto é quando
, ou seja quando
.
Passo 5
Multiplico por
(pois a derivada tem fator
):
Aqui cada termo é
.
Passo 6
Agora integro termo a termo. Teorema usado (explicado): se uma série de potências
converge num intervalo aberto em torno de 0 (ou seja
), então podemos integrar (e diferenciar) essa série termo a termo naquele intervalo e a série integrada terá o mesmo raio de convergência interior. Portanto podemos integrar a série da derivada para obter
.
Integrando termo a termo:
Integrando termo a termo:
A integral de
é
. Logo
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Determino a constante
usando
. Como
e todos os termos da soma são múltiplos de
, avaliando em
obtemos
. Portanto
. Assim
Passo 8
Simplifico a expressão:
. Logo a série pode ser escrita de forma compacta como
Escrevo também os primeiros termos para ficar mais concreto:
Passo 9
Determino o intervalo/raio de convergência e comportamento nas extremidades. Da expansão da série geométrica usamos a condição
, ou seja
. Então o raio de convergência é
.
Verificação nos pontos extremos:
Verificação nos pontos extremos:
- Para
a série torna-se
que é uma série alternada com termos
monótonos decrescentes para
e tendendo a
; pelo critério de Leibniz (série alternada) converge. O valor limite é
.
- Para
obtemos a série , que também converge (valor ).
Observação sobre convergência absoluta: nos extremos a série não converge absolutamente porque os termos absolutos são, cuja soma diverge (comportamento harmônico). Assim a convergência nos extremos é condicional.