Usando derivação e integração termo a termo, determine as expansões em séries de potências em torno de x_{0}=0 das seguintes funções e os valores de x para os quais essas expansões são válidas:
\frac{1}{(1+x)^{3}}

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar a expansão em série de potências em torno de \,x_{0}=0 da função \dfrac{1}{(1+x)^{3}} e indicar para quais valores de x essa expansão é válida.
Informações dadas: a função \dfrac{1}{(1+x)^{3}} está centrada em 0 (ou seja, queremos a série de Taylor/Maclaurin) e devemos usar derivação/integração termo a termo se for útil.

Passo 2

Começamos por uma série básica que todo mundo conhece e que é o ponto de partida: a série geométrica centrada em 0. A fórmula é
\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{n},
válida para |x|<1. Aqui cada termo é (-1)^{n}x^{n}. Vou explicar por que usar essa série: ela converge uniformemente em qualquer intervalo fechado contido em (-1,1), o que nos permite diferenciar termo a termo (essa é a justificativa técnica para o próximo passo).

Passo 3

Agora diferenciamos termo a termo para obter uma série para \dfrac{1}{(1+x)^{2}}. Diferenciando \dfrac{1}{1+x} em relação a x obtemos
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1+x}\right)=-\frac{1}{(1+x)^{2}}.
Diferenciando a série do lado direito termo a termo (válido para |x|<1) temos
\frac{d}{dx}\left(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{n}\right)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}n x^{n-1}.
Reescrevendo essa soma com índice começando em 0 (fazendo m=n-1) e multiplicando por -1, obtemos
\frac{1}{(1+x)^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}(n+1)x^{n}.
Explicação do passo de índice: quando n vai de 1 a \infty, colocando m=n-1 obtemos soma sobre m=0 a \infty com coeficiente (m+1).

Passo 4

Repetimos o processo: diferenciamos termo a termo a expressão para \dfrac{1}{(1+x)^{2}} para obter \dfrac{1}{(1+x)^{3}}. Diferenciando,
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{(1+x)^{2}}\right)=-\frac{2}{(1+x)^{3}}.
Diferenciando a série \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}(n+1)x^{n} termo a termo (novamente válido para |x|<1) obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}(n+1)n x^{n-1}.
Agora igualamos ao lado derivado: -\dfrac{2}{(1+x)^{3}}=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}n(n+1)x^{n-1}. Fazemos a troca de índice m=n-1 para escrever a soma começando em 0:
-\frac{2}{(1+x)^{3}}=\sum_{m=0}^{\infty}(-1)^{m+1}(m+1)(m+2)x^{m}.
Multiplicando ambos os lados por -\dfrac{1}{2} obtemos a série desejada:
\frac{1}{(1+x)^{3}}=\sum_{m=0}^{\infty}(-1)^{m}\frac{(m+1)(m+2)}{2}\,x^{m}.
Para simplificar a notação, troco m de volta por n:
\boxed{\displaystyle \frac{1}{(1+x)^{3}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{(n+1)(n+2)}{2}\,x^{n}.}

Passo 5

Interpretação dos coeficientes e forma alternativa: o coeficiente do termo x^{n} é (-1)^{n}\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}. Observe que \dfrac{(n+1)(n+2)}{2}=\binom{n+2}{2}, então outra forma bonita é
\frac{1}{(1+x)^{3}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\binom{n+2}{2}x^{n}.
Isso coincide com a expansão pela fórmula do binômio para expoente negativo, mas derivamos aqui usando diferenciação termo a termo da série geométrica (método mais elementar).

Passo 6

Escrevo os primeiros termos explícitos (útil para conferir e para usar na prova):
\frac{1}{(1+x)^{3}}=1-3x+6x^{2}-10x^{3}+15x^{4}-\cdots
onde, por exemplo, para n=0 o coeficiente é \dfrac{1\cdot2}{2}=1, para n=1 é -\dfrac{2\cdot3}{2}=-3, para n=2 é +\dfrac{3\cdot4}{2}=6, etc.

Passo 7

Determinação do intervalo (raio) de validade: como partimos da série geométrica que converge para |x|<1 e só aplicamos diferenciação termo a termo (que preserva o raio de convergência), a série final converge para |x|<1. Nos pontos limite x=1 e x=-1 os termos da série não tendem a zero (em x=1 os sinais alternam mas os módulos crescem ~ n^{2}, em x=-1 os termos são todos positivos e crescem), logo a série diverge nos extremos. Portanto a expansão é válida estritamente para |x|<1.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{(1+x)^{3}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{(n+1)(n+2)}{2}\,x^{n},\quad\text{válida para }|x|<1á

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