Usando derivação e integração termo a termo, determine as expansões em séries de potências em torno de
das seguintes funções e os valores de
para os quais essas expansões são válidas:
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar a expansão em série de potências em torno de
da função
e indicar para quais valores de
essa expansão é válida.
Informações dadas: a função está centrada em
(ou seja, queremos a série de Taylor/Maclaurin) e devemos usar derivação/integração termo a termo se for útil.
Informações dadas: a função
Passo 2
Começamos por uma série básica que todo mundo conhece e que é o ponto de partida: a série geométrica centrada em
. A fórmula é
válida para
. Aqui cada termo é
. Vou explicar por que usar essa série: ela converge uniformemente em qualquer intervalo fechado contido em
, o que nos permite diferenciar termo a termo (essa é a justificativa técnica para o próximo passo).
Passo 3
Agora diferenciamos termo a termo para obter uma série para
. Diferenciando
em relação a
obtemos
Diferenciando a série do lado direito termo a termo (válido para
) temos
Reescrevendo essa soma com índice começando em
(fazendo
) e multiplicando por
, obtemos
Explicação do passo de índice: quando
vai de
a
, colocando
obtemos soma sobre
a
com coeficiente
.
Passo 4
Repetimos o processo: diferenciamos termo a termo a expressão para
para obter
. Diferenciando,
Diferenciando a série
termo a termo (novamente válido para
) obtemos
Agora igualamos ao lado derivado:
. Fazemos a troca de índice
para escrever a soma começando em
:
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a série desejada:
Para simplificar a notação, troco
de volta por
:
Passo 5
Interpretação dos coeficientes e forma alternativa: o coeficiente do termo
é
. Observe que
, então outra forma bonita é
Isso coincide com a expansão pela fórmula do binômio para expoente negativo, mas derivamos aqui usando diferenciação termo a termo da série geométrica (método mais elementar).
Passo 6
Escrevo os primeiros termos explícitos (útil para conferir e para usar na prova):
onde, por exemplo, para
o coeficiente é
, para
é
, para
é
, etc.
Passo 7
Determinação do intervalo (raio) de validade: como partimos da série geométrica que converge para
e só aplicamos diferenciação termo a termo (que preserva o raio de convergência), a série final converge para
. Nos pontos limite
e
os termos da série não tendem a zero (em
os sinais alternam mas os módulos crescem ~
, em
os termos são todos positivos e crescem), logo a série diverge nos extremos. Portanto a expansão é válida estritamente para
.