Usando derivação e integração termo a termo, determine as expansões em séries de potências em torno de
das seguintes funções e os valores de
para os quais essas expansões são válidas:
Passo 1
O enunciado pede: desenvolver em série de potências em torno de
a função
e determinar para quais valores de
essa expansão é válida.
Informações dadas: a função racional está centrada em
. A tarefa é (i) encontrar a série de potências (Maclaurin) e (ii) o intervalo (ou raio) de convergência dessa série.
Informações dadas: a função racional
Passo 2
Primeiro, vou analisar o denominador para entender as singularidades (que vão decidir o raio de convergência). Resolvo a equação quadrática
Multiplicando por
e resolvendo a forma usual
, uso a fórmula quadrática:
Logo as raízes são
e
. Assim o denominador fatoriza como
Passo 3
Com a fatoração, faço decomposição em frações parciais. Procuro constantes
Multiplicando ambos os lados por
obtém-se
Expando,
Comparando coeficientes das potências de
temos o sistema
Da primeira equação
, então
e
.]
Passo 4
Substituindo
e
de volta, obtenho a decomposição simples
Agora cada parcela é uma função geométrica facilmente expandível em série de potências em torno de
.
Passo 5
Lembrete (ferramenta essencial): a série geométrica básica e a ideia de derivação/integração termo a termo. Para
vale
Essa identidade pode ser obtida somando a progressão geométrica ou integrando/derivando séries term a termo quando necessário. Além disso, se conhecemos
podemos obter outras séries por substituição
alguma expressão em
, ou por derivação/integração termo a termo da própria série. Aqui vou usar substituição (que é uma forma direta de aplicar termo a termo): para
tomo
e aplico a série geométrica.
Passo 6
Expando cada fração parcial usando a série geométrica:
- Para
, para ,
- Para
, substituo . Para (ou seja, ),
Passo 7
Agora combino as duas séries na fórmula da Passo 4, lembrando do fator
:
Posso juntar as somas (mesmo índice e mesmas potências) e obter
Passo 8
Note que para
o coeficiente é
. Isso faz sentido: a função tem fator
no numerador, logo não há termo constante na série. Posso, portanto, escrever a soma começando de
:
Para visualizar os primeiros termos, calculo alguns coeficientes:
-
: coeficiente → termo . -
: coeficiente → termo . -
: coeficiente → termo .
Assim os primeiros termos são
(checando: para
temos
, etc.)
Passo 9
Determino o raio/intervalo de convergência. Cada série geométrica individual tem raio de convergência dado pela condição usada:
Como a expansão final é uma combinação dessas duas séries, a região comum de validade é a interseção:
. Isso também coincide com a regra geral: o raio de convergência de uma série de potências centrada em
para uma função racional é a distância até a singularidade mais próxima de
; as singularidades aqui são
e
, a mais próxima está a distância
, logo
.