Usando derivação e integração termo a termo, determine as expansões em séries de potências em torno de x_{0}=0 das seguintes funções e os valores de x para os quais essas expansões são válidas:
\frac{x}{1+x-2 x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede: desenvolver em série de potências em torno de x_{0}=0 a função
\frac{x}{1+x-2x^{2}}
e determinar para quais valores de x essa expansão é válida.
Informações dadas: a função racional \dfrac{x}{1+x-2x^{2}} está centrada em 0. A tarefa é (i) encontrar a série de potências (Maclaurin) e (ii) o intervalo (ou raio) de convergência dessa série.

Passo 2

Primeiro, vou analisar o denominador para entender as singularidades (que vão decidir o raio de convergência). Resolvo a equação quadrática
1+x-2x^{2}=0.
Multiplicando por -1 e resolvendo a forma usual 2x^{2}-x-1=0, uso a fórmula quadrática:
x=\frac{1\pm\sqrt{1+8}}{4}=\frac{1\pm3}{4}.
Logo as raízes são x=1 e x=-\tfrac{1}{2}. Assim o denominador fatoriza como
1+x-2x^{2}=(1-x)(1+2x).

Passo 3

Com a fatoração, faço decomposição em frações parciais. Procuro constantes A\) e \(B\) tais que \[\frac{x}{(1-x)(1+2x)}=\frac{A}{1-x}+\frac{B}{1+2x}.
Multiplicando ambos os lados por (1-x)(1+2x) obtém-se
x=A(1+2x)+B(1-x).
Expando,
x=(A+B)+(2A-B)x.
Comparando coeficientes das potências de x temos o sistema
\begin{cases} A+B=0,\\[4pt] 2A-B=1. \end{cases}
Da primeira equação B=-A\]. Substituindo na segunda: \(2A-(-A)=3A=1, então A=\tfrac{1}{3} e B=-\tfrac{1}{3}.]

Passo 4

Substituindo A e B de volta, obtenho a decomposição simples
\frac{x}{1+x-2x^{2}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1-x}-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1+2x}.
Agora cada parcela é uma função geométrica facilmente expandível em série de potências em torno de 0.

Passo 5

Lembrete (ferramenta essencial): a série geométrica básica e a ideia de derivação/integração termo a termo. Para |t|<1 vale
\frac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^{\infty} t^{n}.
Essa identidade pode ser obtida somando a progressão geométrica ou integrando/derivando séries term a termo quando necessário. Além disso, se conhecemos \dfrac{1}{1-t} podemos obter outras séries por substituição t\mapsto alguma expressão em x, ou por derivação/integração termo a termo da própria série. Aqui vou usar substituição (que é uma forma direta de aplicar termo a termo): para \dfrac{1}{1+2x} tomo t=-2x e aplico a série geométrica.

Passo 6

Expando cada fração parcial usando a série geométrica:
  • Para \dfrac{1}{1-x}, para |x|<1,
\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}.
  • Para \dfrac{1}{1+2x}, substituo t=-2x. Para |-2x|<1 (ou seja, |x|<\tfrac{1}{2}),
\frac{1}{1+2x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-2x)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}(-2)^{n}x^{n}.

Passo 7

Agora combino as duas séries na fórmula da Passo 4, lembrando do fator \tfrac{1}{3}:
\frac{x}{1+x-2x^{2}}=\frac{1}{3}\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}-\frac{1}{3}\sum_{n=0}^{\infty}(-2)^{n}x^{n}.
Posso juntar as somas (mesmo índice e mesmas potências) e obter
\frac{x}{1+x-2x^{2}}=\frac{1}{3}\sum_{n=0}^{\infty}\bigl(1-(-2)^{n}\bigr)x^{n}.

Passo 8

Note que para n=0 o coeficiente é 1-(-2)^{0}=1-1=0. Isso faz sentido: a função tem fator x no numerador, logo não há termo constante na série. Posso, portanto, escrever a soma começando de n=1:
\frac{x}{1+x-2x^{2}}=\frac{1}{3}\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(1-(-2)^{n}\bigr)x^{n}.
Para visualizar os primeiros termos, calculo alguns coeficientes:
  • n=1: coeficiente \tfrac{1}{3}(1-(-2))=\tfrac{1}{3}\cdot3=1 → termo x.
  • n=2: coeficiente \tfrac{1}{3}(1-4)=\tfrac{1}{3}(-3)=-1 → termo -x^{2}.
  • n=3: coeficiente \tfrac{1}{3}(1-(-8))=\tfrac{1}{3}\cdot9=3 → termo 3x^{3}.
    Assim os primeiros termos são
x-x^{2}+3x^{3}-5x^{4}+\cdots
(checando: para n=4 temos \tfrac{1}{3}(1-16)=-5, etc.)

Passo 9

Determino o raio/intervalo de convergência. Cada série geométrica individual tem raio de convergência dado pela condição usada:
\frac{1}{1-x} \text{ converge se } |x|<1, \qquad \frac{1}{1+2x} \text{ converge se } |2x|<1\\ (\text{ou }|x|<\tfrac{1}{2}).
Como a expansão final é uma combinação dessas duas séries, a região comum de validade é a interseção: |x|<\tfrac{1}{2}. Isso também coincide com a regra geral: o raio de convergência de uma série de potências centrada em 0 para uma função racional é a distância até a singularidade mais próxima de 0; as singularidades aqui são x=1 e x=-\tfrac{1}{2}, a mais próxima está a distância \tfrac{1}{2}, logo R=\tfrac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{x}{1+x-2x^{2}}=\frac{1}{3}\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(1-(-2)^{n}\bigr)x^{n}
|x|<\tfrac{1}{2}

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