Usando derivação e integração termo a termo, determine as expansões em séries de potências em torno de x_{0}=0 das seguintes funções e os valores de x para os quais essas expansões são válidas:
\int \frac{x}{1+x^{5}} d x

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar a expansão em série de potências em torno de x_{0}=0 da função
\int \frac{x}{1+x^{5}}\,dx,
e (2) determinar para quais valores de x essa expansão é válida. Informação dada: a função a ser expandida é a primitiva de \dfrac{x}{1+x^{5}} (ou seja, devemos integrar uma série obtida para o integrando). Não há outras condições fornecidas.

Passo 2

Ideia principal (sem ainda calcular): escrever o integrando como série de potências e depois integrar termo a termo. Primeiro passo técnico: reconhecer uma série geométrica. Faça a substituição \,u=x^{5}\,. Lembrando a fórmula da série geométrica alternada:
\frac{1}{1+u}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}u^{n}\qquad\text{para }\;|u|<1.
Aqui u=x^{5}, portanto a igualdade vale quando |x^{5}|<1, i.e. quando |x|<1. Isso nos dá uma expansão do denominador válida para |x|<1.

Passo 3

Aplicando a fórmula com u=x^{5} obtemos a série para o integrando. Substituindo,
\frac{x}{1+x^{5}}=x\cdot\frac{1}{1+x^{5}}=x\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{5n}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{5n+1},
válida para |x|<1. Aqui cada termo é (-1)^{n}x^{5n+1}. É fácil ver os primeiros termos: para n=0 x^{1}, para n=1 -x^{6}, para n=2 +x^{11}, etc. (Vou usar esses para integrar em seguida.)

Passo 4

Justificativa da integração termo a termo: uma série de potências converge uniformemente em qualquer intervalo fechado contido em |x|<1, logo pode ser integrada termo a termo nesses intervalos. Assim integramos cada termo \,(-1)^{n}x^{5n+1}\, separadamente:
\int (-1)^{n}x^{5n+1}\,dx = (-1)^{n}\int x^{5n+1}\,dx = (-1)^{n}\frac{x^{5n+2}}{5n+2}.
Portanto a primitiva encontrada por integração termo a termo é a série
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{5n+2}}{5n+2} + C,
onde C é a constante de integração. Escrevendo os primeiros termos explicitamente:
\int \frac{x}{1+x^{5}}\,dx = \frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{7}}{7}+\frac{x^{12}}{12}-\frac{x^{17}}{17}+\cdots + C,
válida para |x|<1.

Passo 5

Determinar o raio de convergência e comportamento nas fronteiras. As singularidades da função integranda \dfrac{x}{1+x^{5}} aparecem quando 1+x^{5}=0, ou seja quando x^{5}=-1. Essas raízes estão no círculo |x|=1 no plano complexo; portanto a distância da origem até a singularidade mais próxima é 1. Isso dá raio de convergência R=1, ou seja a série de potências converge (pelo menos) para |x|<1.
Agora verificar os pontos na fronteira real:
  • Em x=1: a série da primitiva torna-se \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{5n+2},que é uma série alternada com termos em módulo \dfrac{1}{5n+2} decrescentes para n\to\infty e que tendem a zero; logo converge (convergência condicional pelo teste da série alternada).
  • Em x=-1: note que x=-1 é raiz de 1+x^{5} porque (-1)^{5}=-1, então o integrando é singular em x=-1 e a série da primitiva avaliada em x=-1 seria \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{5n+2},que diverge (comportamento tipo harmônico). Portanto a expansão não se estende até x=-1.
Resumo: a expansão por séries de potências que obtivemos é válida para |x|<1; pode ser estendida condicionalmente em x=1 (convergência), mas não em x=-1 (diverge e ainda há singularidade).

Resposta

\int \frac{x}{1+x^{5}}\,dx=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{5n+2}}{5n+2}+C=\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{7}}{7}+\frac{x^{12}}{12}-\cdots +C
válida para |x|<1. \
A série converge também em x=1 (convergência condicional) e diverge em x=-1 (além disso x=-1 é singular da função integranda).

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