Usando derivação e integração termo a termo, determine as expansões em séries de potências em torno de
das seguintes funções e os valores de
para os quais essas expansões são válidas:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar a expansão em série de potências em torno de
da função
e (2) determinar para quais valores de
essa expansão é válida. Informação dada: a função a ser expandida é a primitiva de
(ou seja, devemos integrar uma série obtida para o integrando). Não há outras condições fornecidas.
Passo 2
Ideia principal (sem ainda calcular): escrever o integrando como série de potências e depois integrar termo a termo. Primeiro passo técnico: reconhecer uma série geométrica. Faça a substituição
. Lembrando a fórmula da série geométrica alternada:
Aqui
, portanto a igualdade vale quando
, i.e. quando
. Isso nos dá uma expansão do denominador válida para
.
Passo 3
Aplicando a fórmula com
obtemos a série para o integrando. Substituindo,
válida para
. Aqui cada termo é
. É fácil ver os primeiros termos: para
dá
, para
dá
, para
dá
, etc. (Vou usar esses para integrar em seguida.)
Passo 4
Justificativa da integração termo a termo: uma série de potências converge uniformemente em qualquer intervalo fechado contido em
, logo pode ser integrada termo a termo nesses intervalos. Assim integramos cada termo
separadamente:
Portanto a primitiva encontrada por integração termo a termo é a série
onde
é a constante de integração. Escrevendo os primeiros termos explicitamente:
válida para
.
Passo 5
Determinar o raio de convergência e comportamento nas fronteiras. As singularidades da função integranda
aparecem quando
, ou seja quando
. Essas raízes estão no círculo
no plano complexo; portanto a distância da origem até a singularidade mais próxima é
. Isso dá raio de convergência
, ou seja a série de potências converge (pelo menos) para
.
Agora verificar os pontos na fronteira real:
- Em
: a série da primitiva torna-se que é uma série alternada com termos em módulo decrescentes para e que tendem a zero; logo converge (convergência condicional pelo teste da série alternada). - Em
: note que é raiz de porque , então o integrando é singular em e a série da primitiva avaliada em seria que diverge (comportamento tipo harmônico). Portanto a expansão não se estende até .
Resumo: a expansão por séries de potências que obtivemos é válida para
; pode ser estendida condicionalmente em
(convergência), mas não em
(diverge e ainda há singularidade).
Resposta
válida para
. \
A série converge também em (convergência condicional) e diverge em
(além disso
é singular da função integranda).
A série converge também em