Usando derivação e integração termo a termo, determine as expansões em séries de potências em torno de x_{0}=0 das seguintes funções e os valores de x para os quais essas expansões são válidas:
x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}+\cdots+\frac{x^{2 n-1}}{2 n-1}+\cdots

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre a expansão em série de potências em torno de x_{0}=0 da função dada pela soma
x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}+\cdots+\frac{x^{2n-1}}{2n-1}+\cdots
e que eu determine para quais valores de x essa expansão é válida. Informações relevantes que temos diretamente do enunciado:
\text{a série }S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n-1}}{2n-1},é
a expansão deve ser em torno de 0 (série de Maclaurin) e devo usar diferenciação/integração termo a termo para encontrar uma expressão fechada e o intervalo de validade.

Passo 2

Vou primeiro estudar a convergência (para saber onde posso operar termo a termo). Denoto o termo geral por
u_n(x)=\frac{x^{2n-1}}{2n-1}.
Aplico o teste da razão entre termos consecutivos:
\left|\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}\right| =|x|^{2}\cdot\frac{2n-1}{2n+1}.
Tomando o limite quando n\to\infty,
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}\right|=|x|^{2}.
Pelo teste da razão, a série converge se |x|^{2}<1, isto é, se |x|<1. Portanto o raio de convergência é 1.
Agora os extremos: para x=1 a série fica \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n-1}, que diverge por comparação com a série harmônica (é metade, em ordem de grandeza, da harmônica). Para x=-1 todos os termos são -1/(2n-1) e a série também diverge (tende a -\infty). Logo a série converge somente para |x|<1.

Passo 3

Como estamos em |x|<1, temos convergência uniforme em qualquer intervalo fechado [-r,r] com 0<r<1. Essa convergência uniforme em compactos nos permite diferenciar e integrar termo a termo a série. Vou usar diferenciação termo a termo porque a derivada torna a soma mais simples.

Passo 4

Derivo a série termo a termo (válido para |x|<1). A derivada de cada termo é
\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{2n-1}}{2n-1}\right)=x^{2n-2}.
Portanto
S'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}x^{2n-2}.
Reindexando com m=n-1 (ou observando diretamente) obtemos
S'(x)=\sum_{m=0}^{\infty}x^{2m} = 1 + x^{2} + x^{4} + \cdots.

Passo 5

A soma geométrica acima é conhecida: para |x|<1,
\sum_{m=0}^{\infty}x^{2m}=\frac{1}{1-x^{2}}.
Portanto
S'(x)=\frac{1}{1-x^{2}},\qquad |x|<1.

Passo 6

Agora integro S'(x) para recuperar S(x). Faço a integral indefinida:
\int\frac{1}{1-x^{2}}\,dx.
Faço frações parciais: \dfrac{1}{1-x^{2}}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{1-x}+\dfrac{1}{1+x}\right). Integrando,
\int\frac{1}{1-x^{2}}\,dx=\frac{1}{2}\left(-\ln(1-x)+\ln(1+x)\right)+C =\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right)+C.
Logo
S(x)=\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right)+C,\qquad |x|<1.

Passo 7

Determino a constante C avaliando em x=0. Da série original, S(0)=0. Substituindo x=0 na expressão fechada:
0=S(0)=\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{1+0}{1-0}\right)+C=\frac{1}{2}\ln(1)+C=0+C,
logo C=0. Assim, para |x|<1,
S(x)=\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right).

Passo 8

Observações finais e interpretação: a série encontrada é exatamente a série de Taylor (Maclaurin) da função \operatorname{arctanh}(x), já que
\operatorname{arctanh}(x)=\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{x^{2m+1}}{2m+1},
para |x|<1. Confirmamos também que o raio de convergência é 1 e que nos pontos x=\pm1 a série diverge.

Resposta

\displaystyle x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}+\cdots=\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\n |x|<1

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