Usando derivação e integração termo a termo, determine as expansões em séries de potências em torno de x_{0}=0 das seguintes funções e os valores de x para os quais essas expansões são válidas: x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}+\cdots+\frac{x^{2 n-1}}{2 n-1}+\cdots
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre a expansão em série de potências em torno de x_{0}=0 da função dada pela soma
e que eu determine para quais valores de x essa expansão é válida. Informações relevantes que temos diretamente do enunciado:
\text{a série }S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n-1}}{2n-1},
a expansão deve ser em torno de 0 (série de Maclaurin) e devo usar diferenciação/integração termo a termo para encontrar uma expressão fechada e o intervalo de validade.
Passo 2
Vou primeiro estudar a convergência (para saber onde posso operar termo a termo). Denoto o termo geral por
u_n(x)=\frac{x^{2n-1}}{2n-1}.
Aplico o teste da razão entre termos consecutivos:
Pelo teste da razão, a série converge se |x|^{2}<1, isto é, se |x|<1. Portanto o raio de convergência é 1.
Agora os extremos: para x=1 a série fica \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n-1}, que diverge por comparação com a série harmônica (é metade, em ordem de grandeza, da harmônica). Para x=-1 todos os termos são -1/(2n-1) e a série também diverge (tende a -\infty). Logo a série converge somente para |x|<1.
Passo 3
Como estamos em |x|<1, temos convergência uniforme em qualquer intervalo fechado [-r,r] com 0<r<1. Essa convergência uniforme em compactos nos permite diferenciar e integrar termo a termo a série. Vou usar diferenciação termo a termo porque a derivada torna a soma mais simples.
Passo 4
Derivo a série termo a termo (válido para |x|<1). A derivada de cada termo é