Usando derivação e integração termo a termo, determine as expansões em séries de potências em torno de x_{0}=0 das seguintes funções e os valores de x para os quais essas expansões são válidas: x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+\cdots+\frac{x^{n}}{n}+\cdots
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre a soma em forma fechada (expansão em série de potências em torno de \,x_{0}=0\,) da série
e que eu diga para quais valores de x essa expansão é válida. As informações relevantes são: a série dada, o centro x_{0}=0 e a necessidade de usar diferenciação e integração termo a termo quando for conveniente.
Passo 2
Vou lembrar um fato básico que vamos usar: a série geométrica. Para |x|<1 vale
\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}=\frac{1}{1-x}.
Aqui \,x^{n}\, é o termo geral e a igualdade significa que, para cada x com |x|<1, a soma infinita dos termos x^{n} converge para 1/(1-x). Esse é o ponto de partida porque a série que temos envolve potências x^{n} multiplicadas por 1/n, então integração termo a termo da geométrica é uma ideia natural.
Passo 3
Vou integrar a identidade da série geométrica, faculdade válida para |x|<1 por convergência uniforme em qualquer intervalo fechado dentro de (-1,1). Escrevo a série geométrica em função de uma variável de integração t:
Pelo critério da razão para séries de potências, o raio de convergência é R=1. Portanto a série converge pelo menos para |x|<1 e não converge para |x|>1.
que é a série harmônica conhecida por divergir (pode-se ver por comparação com integrais ou usando que as somas parciais crescem como \ln n). Logo diverge em x=1.
Pela série alternada de Leibniz (termos \,1/n\, decrescentes para n e tendendo a zero), essa série converge. O valor desta soma é o limite à esquerda da função -\ln(1-x) quando x\to-1^{+}:
\lim_{x\to-1^{+}}-\ln(1-x)=-\ln(2).
Portanto a soma para x=-1 converge e seu valor é -\ln 2. (Isto também pode ser visto aplicando o teste de Abel: a soma da série de potências coincide com o limite da soma da função fechada quando se aproxima do extremo pela direita.)
Passo 9
Resumo prático para decorar e usar na prova: a soma fechada, o raio e o comportamento nos extremos foram obtidos e verificados por diferenciação/integração termo a termo e por testes de convergência.