Usando derivação e integração termo a termo, determine as expansões em séries de potências em torno de x_{0}=0 das seguintes funções e os valores de x para os quais essas expansões são válidas:
x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+\cdots+\frac{x^{n}}{n}+\cdots

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre a soma em forma fechada (expansão em série de potências em torno de \,x_{0}=0\,) da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n}=x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+\cdots
e que eu diga para quais valores de x essa expansão é válida. As informações relevantes são: a série dada, o centro x_{0}=0 e a necessidade de usar diferenciação e integração termo a termo quando for conveniente.

Passo 2

Vou lembrar um fato básico que vamos usar: a série geométrica. Para |x|<1 vale
\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}=\frac{1}{1-x}.
Aqui \,x^{n}\, é o termo geral e a igualdade significa que, para cada x com |x|<1, a soma infinita dos termos x^{n} converge para 1/(1-x). Esse é o ponto de partida porque a série que temos envolve potências x^{n} multiplicadas por 1/n, então integração termo a termo da geométrica é uma ideia natural.

Passo 3

Vou integrar a identidade da série geométrica, faculdade válida para |x|<1 por convergência uniforme em qualquer intervalo fechado dentro de (-1,1). Escrevo a série geométrica em função de uma variável de integração t:
\sum_{n=0}^{\infty}t^{n}=\frac{1}{1-t},\qquad |t|<1.
Integro ambos os lados de t=0 até t=x (com |x|<1):
\int_{0}^{x}\sum_{n=0}^{\infty}t^{n}\,dt=\int_{0}^{x}\frac{1}{1-t}\,dt.
Pela integração termo a termo (justificada pela convergência uniforme em [0,x] quando |x|<1), o lado esquerdo vira
\sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{x}t^{n}\,dt=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{n+1}.

Passo 4

Reescrevendo a soma a partir de n=1 obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n}=\int_{0}^{x}\frac{1}{1-t}\,dt.
Agora calculo diretamente a integral do lado direito. A primitiva de 1/(1-t) é -\ln(1-t). Assim,
\int_{0}^{x}\frac{1}{1-t}\,dt=\big[-\ln(1-t)\big]_{t=0}^{t=x}=-\ln(1-x)-\big(-\ln(1-0)\big)=-\ln(1-x).
Portanto, para |x|<1,
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n}=-\ln(1-x).

Passo 5

Como verificação (e também para ensinar diferenciação termo a termo): tomo a série
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n}.
Diferenciando termo a termo (válido para |x|<1) obtenho
f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}x^{\,n-1}=\sum_{m=0}^{\infty}x^{m}=\frac{1}{1-x}.
E a derivada de -\ln(1-x) é também 1/(1-x). Isso confirma compatibilidade entre soma e forma fechada obtida.

Passo 6

Agora determino o raio de convergência da série de potências \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n}. Use a razão entre coeficientes a_{n}=\frac{1}{n}:
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{1/n}{1/(n+1)}=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}=1.
Pelo critério da razão para séries de potências, o raio de convergência é R=1. Portanto a série converge pelo menos para |x|<1 e não converge para |x|>1.

Passo 7

Ainda falta analisar os extremos x=1 e x=-1.
Para x=1 a série vira
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1^{n}}{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n},
que é a série harmônica conhecida por divergir (pode-se ver por comparação com integrais ou usando que as somas parciais crescem como \ln n). Logo diverge em x=1.

Passo 8

Para x=-1 a série vira a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n}=-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\cdots.
Pela série alternada de Leibniz (termos \,1/n\, decrescentes para n e tendendo a zero), essa série converge. O valor desta soma é o limite à esquerda da função -\ln(1-x) quando x\to-1^{+}:
\lim_{x\to-1^{+}}-\ln(1-x)=-\ln(2).
Portanto a soma para x=-1 converge e seu valor é -\ln 2. (Isto também pode ser visto aplicando o teste de Abel: a soma da série de potências coincide com o limite da soma da função fechada quando se aproxima do extremo pela direita.)

Passo 9

Resumo prático para decorar e usar na prova: a soma fechada, o raio e o comportamento nos extremos foram obtidos e verificados por diferenciação/integração termo a termo e por testes de convergência.

Resposta

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n}=-\ln(1-x),\qquad |x|<1
\text{No extremo }x=1\text{ diverge; no extremo }x=-1\text{ converge e a soma é }-\ln 2.é

Exercícios relacionados