Usando derivação e integração termo a termo, determine as expansões em séries de potências em torno de x_{0}=0 das seguintes funções e os valores de x para os quais essas expansões são válidas:
x+2 x^{2}+3 x^{3}+\cdots+n x^{n}+\cdots

Passo 1

O enunciado dá a série de potências centrada em x_{0}=0
x+2x^{2}+3x^{3}+\cdots+n x^{n}+\cdots
e pede (1) escrever essa série em forma fechada (uma função em x) e (2) indicar para quais valores de x essa expansão em série de potências é válida.
Informações relevantes que temos: os coeficientes são a_{n}=n para n\ge 1 e o termo independente (quando n=0) é 0. A série pode ser escrita como
\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n}.

Passo 2

Lembrança útil (ferramenta que vamos usar): a série geométrica básica é
\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}=\frac{1}{1-x},
válida para |x|<1. Aqui cada x^{n} é o termo da série e a soma fechada é \frac{1}{1-x}. Essa série converge para |x|<1 e é infinitamente diferenciável nesse intervalo. Por ser convergente uniformemente em qualquer compacto contido em |x|<1, podemos derivá-la termo a termo dentro desse raio de convergência — isto é, derivar cada x^{n} e somar os resultados.

Passo 3

Vamos derivar termo a termo a série geométrica. Primeiro escrevo a série começando em n=1 (já que o termo n=0 é 1):
\sum_{n=1}^{\infty} x^{n}=\frac{x}{1-x}.
Agora derivamos ambos os lados em relação a x. Derivando o lado esquerdo termo a termo:
  • a derivada de x^{n} é n x^{n-1},
    logo a derivada termo a termo é
\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}.
Derivando o lado direito \frac{x}{1-x} usando regra do quociente ou produto dá
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x}{1-x}\right)=\frac{1}{(1-x)^{2}}.
Portanto, para |x|<1 temos a identidade
\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^{2}}.

Passo 4

Multiplicamos a igualdade acima por x (a multiplicação por x preserva o raio de convergência) para recuperar a forma com potências x^{n}:
x\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}=\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n}=\frac{x}{(1-x)^{2}}.
Pronto: encontramos a soma fechada da série pedida. Aqui cada variável significa:
  • n é o índice da soma (um inteiro positivo),
  • x é a variável da série de potências,
  • a igualdade vale para os x onde as operações termo a termo foram justificadas (veremos abaixo quais são).

Passo 5

Justificativa do intervalo de validade (raio de convergência). Podemos aplicar o teste da razão à série \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n}. Tome a_{n}=n x^{n}. Então
\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\frac{n+1}{n}\,|x|\xrightarrow[n\to\infty]{}|x|.
Pelo teste da razão, a série converge se |x|<1 e diverge se |x|>1. Assim o raio de convergência é 1. Para os pontos na fronteira:
  • em x=1: os termos são n, não tendem a zero, então a série diverge;
  • em x=-1: os termos são n(-1)^{n}, também não tendem a zero em módulo, logo a série diverge.
    Conclusão: a igualdade obtida vale estritamente para |x|<1.

Passo 6

Mostro rapidamente, por integração termo a termo (como pedido), uma identidade conectada que confirma consistência. Partimos da série que já temos
\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n}=\frac{x}{(1-x)^{2}},\qquad |x|<1.
Integramos ambos os lados em relação a x. Integrando o lado esquerdo termo a termo (válido para |x|<1) obtemos
\sum_{n=1}^{\infty} n\frac{x^{n+1}}{n+1}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n+1}x^{n+1}.
No lado direito, calculamos a integral
\int \frac{x}{(1-x)^{2}}\,dx=\ln(1-x)+\frac{1}{1-x}+C.
Escolhendo a constante C de modo que ambas as expressões coincidam em x=0 (na série a soma é 0 em x=0), achamos C=-1. Assim surge a identidade
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n+1}x^{n+1}=\ln(1-x)+\frac{1}{1-x}-1,
válida para |x|<1. Isso é apenas um exemplo de como integrar termo a termo dá identidades consistentes com a soma fechada que encontramos.

Resposta

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n}=\frac{x}{(1-x)^{2}},\;|x|<1

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