Usando derivação e integração termo a termo, determine as expansões em séries de potências em torno de
das seguintes funções e os valores de
para os quais essas expansões são válidas:
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede duas coisas: (A) escrever essa expressão como uma expansão em séries de potências em torno de
(ou seja, identificar a soma como uma função explícita de
); (B) determinar para quais valores de
essa expansão é válida (intervalo/raio de convergência e comportamento nos extremos).
As informações relevantes que temos: os coeficientes seguem o padrão alternado com potências crescentes de e denominadores do tipo
. Não começo a resolver nada ainda — só identifiquei o que o problema pede e os dados fornecidos.
As informações relevantes que temos: os coeficientes seguem o padrão alternado com potências crescentes de
Passo 2
Vamos escrever a série com um índice para manipular melhor os termos. Defino, para
,
Assim a série é
Um truque útil é decompor a fração
por frações parciais. Vou mostrar isso porque é uma ferramenta que simplifica somas telescópicas e manipulações com séries: para
,
Isso é fácil de verificar multiplicando em comum denominador. Aplicando isso dentro de
obtemos
Passo 3
Separe a soma em duas somas usando a decomposição:
Chamo a primeira soma de
e a segunda de
:
logo
. Vou agora transformar
e
em expressões conhecidas.
Passo 4
Recorde (e eu explico por que) a série do logaritmo: partimos da série geométrica para
,
Integrando termo a termo no intervalo de
a
(isso é permitido para
porque a série converge uniformemente em qualquer intervalo fechado dentro de
), obtemos
Explicação curta do porquê: integrar a soma de potências dá a soma das integrais das potências, e a integral de
de
a
é
. Assim temos a fórmula clássica (válida inicialmente para
):
Passo 5
Agora uso essa série para calcular
e
.
Para
:
onde, na última igualdade, reconheci a série de
substituindo
por
.
Para
reindexo com
. Então
Agora escrevo essa soma como a soma de
de
até
menos o termo
:
A soma completa é
. Substituindo,
Passo 6
Volto para
:
Agrupando,
É sempre bom conferir os primeiros termos: usando
e multiplicando por
e subtraindo
, obtemos
que coincide com os termos dados no enunciado (verifiquei os coeficientes e estão corretos).
Passo 7
Agora a parte do raio/intervalo de validade. A série de
foi obtida por integração da série geométrica e tem raio de convergência
; portanto a manipulação termo a termo que fiz (multiplicar por
, reindexar, somar subtrações) garante validade da expressão para
. Então o raio de convergência é
.
Resta verificar os extremos
e
separadamente:
- Em
a série original vale
os termos têm ordem
, logo a soma de valores absolutos
converge (é telescópica), portanto a série converge (na verdade converge absolutamente). O valor pela expressão fechada é
- Em
cada termo fica positivo porque os sinais se cancelam; a série torna-se
que é telescópica e soma
. Pela expressão fechada, o limite
também é
(porque
quando
). Assim a série converge também em
e soma
.
Portanto a série tem raio de convergência
e converge para todos os
com
. (Observação: a representação por
é válida para
diretamente pela derivação/integração termo a termo; nos extremos verificamos convergência separadamente e os valores coincidem com o limite da expressão.)
Resposta
Converge para