Usando o desenvolvimento em cofatores segundo alguma linha ou coluna bem escolhida, calcule os determinantes das matrizes abaixo.
A=\left[\begin{array}{rrrr} 0 & 1 & -1 & 2 \\ 1 & 3 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 3 \\ 4 & -2 & 1 & 2 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{rrrr} 3 & -3 & 7 & 1 \\ 1 & 0 & -2 & 4 \\ 5 & 0 & 1 & 3 \\ 5 & 0 & -1 & 0 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede o cálculo dos determinantes de duas matrizes 4\times4 usando desenvolvimento em cofatores (Laplace). Vamos escolher para cada matriz uma linha ou coluna com mais zeros, de modo a simplificar a expansão.

Passo 2

Para \det(A) com
A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 & 2 \\\\ 1 & 3 & 1 & 0 \\\\ 2 & 0 & 0 & 3 \\\\ 4 & -2 & 1 & 2 \end{pmatrix},
a terceira linha tem dois zeros. Expandindo ao longo dessa linha:
\det(A) = a_{31}C_{31} + a_{34}C_{34} =2\underbrace{\det\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2\\\\ 3 & 1 & 0\\\\ -2 & 1 & 2 \end{pmatrix}}_{M_{31}} +3\,(−1)^{3+4} \underbrace{\det\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1\\\\ 1 & 3 & 1\\\\ 4 & -2 & 1 \end{pmatrix}}_{M_{34}}.
Como (-1)^{3+4}=-1, segue
\det(A)=2\,\det(M_{31})-3\,\det(M_{34}).

Passo 3

Calculando os determinantes dos menores 3\times3:
\det(M_{31}) =\det\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2\\\\ 3 & 1 & 0\\\\ -2 & 1 & 2 \end{pmatrix} =18, \qquad \det(M_{34}) =\det\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1\\\\ 1 & 3 & 1\\\\ 4 & -2 & 1 \end{pmatrix} =17.
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\det(A)=2\cdot18 - 3\cdot17 =36-51 = -15.

Passo 4

Para \det(B) com
B=\begin{pmatrix} 3 & -3 & 7 & 1\\\\ 1 & 0 & -2 & 4\\\\ 5 & 0 & 1 & 3\\\\ 5 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix},
a segunda coluna tem três zeros. Expandindo ao longo dessa coluna:
\det(B) =a_{12}C_{12} =(-3)\,(−1)^{1+2} \det\begin{pmatrix} 1 & -2 & 4\\\\ 5 & 1 & 3\\\\ 5 & -1 & 0 \end{pmatrix} =3\,\det(M_{12}).

Passo 5

Calculando o menor 3\times3:
\det(M_{12}) =\det\begin{pmatrix} 1 & -2 & 4\\\\ 5 & 1 & 3\\\\ 5 & -1 & 0 \end{pmatrix} =-67,
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\det(B)=3\cdot(-67)=-201.

Resposta

\det(A)=-15 \det(B)=-201

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