Usando deslocamenos horizontais, verticais, e as funções vistas em aula, esboce o gráfico das funções abaixo:
f(x)=\frac{2}{x+1}

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função f(x)=\frac{2}{x+1} usando deslocamentos horizontais/verticais e as funções vistas em aula.
Informações dadas (explicitadas):
  • A função é f(x)=\frac{2}{x+1}.
  • Precisa-se de um esboço (forma, assíntotas, pontos importantes), feito por transformações de uma função base.

Passo 2

Escolha do método: vamos usar a função base y=\dfrac{1}{x} e aplicar transformações simples (deslocamento horizontal e esticamento vertical).
Por quê? Porque \dfrac{2}{x+1} é exatamente um múltiplo vertical de \dfrac{1}{x+1}, e \dfrac{1}{x+1} é uma translação horizontal de \dfrac{1}{x}. Esse caminho é curto, visual e seguro para esboçar no tempo de prova.

Passo 3

Lembrete sobre a função base y=\dfrac{1}{x}:
  • Gráfico: hipérbole com duas ramos, um no primeiro quadrante (x>0,y>0) e outro no terceiro quadrante (x<0,y<0).
  • Assíntotas: vertical x=0 e horizontal y=0.
  • Alguns pontos fáceis: \left(1,1\right), \left(2,\tfrac{1}{2}\right), \left(-1,-1\right).
  • Comportamento: quando x\to0^+ a função vai para +\infty; quando x\to0^- vai para -\infty; quando x\to\pm\infty vai para 0.

Passo 4

Aplicando a primeira transformação: deslocamento horizontal para obter y=\dfrac{1}{x+1}.
  • Regra geral: substituir x por x-h resulta em deslocamento para a direita por h. Aqui temos x+1=x-(-1), logo é deslocamento para a esquerda de 1 unidade.
  • Consequências imediatas:
    • A assíntota vertical que era x=0 passa a ser x=-1.
    • A assíntota horizontal continua sendo y=0.
    • O “centro” da hipérbole (ponto de simetria) passa de (0,0) para (-1,0).
  • Exemplos de pontos movidos (pegaram os pontos da base e deslocaram x em -1):
    • \left(1,1\right) em y=\dfrac{1}{x} vai para \left(0,1\right) em y=\dfrac{1}{x+1}.
    • \left(-1,-1\right) em y=\dfrac{1}{x} vai para \left(-2,-1\right) em y=\dfrac{1}{x+1}.

Passo 5

Aplicando a segunda transformação: esticamento vertical por fator 2 para obter f(x)=\dfrac{2}{x+1}=2\cdot\dfrac{1}{x+1}.
  • Regra: multiplicar a função por a (aqui a=2) multiplica todas as ordenadas por 2 — ou seja, estica verticalmente.
  • Consequências:
    • A assíntota vertical permanece x=-1.
    • A assíntota horizontal permanece y=0 (porque multiplicar por constante não cria deslocamento vertical).
    • O centro continua em (-1,0).
  • Pontos importantes após o esticamento (peguei alguns valores calculando na expressão original):
    • Para x=0: f(0)=\dfrac{2}{0+1}=2. Portanto o gráfico passa por \left(0,2\right). (Esse ponto veio de deslocar (1,1) para (0,1) e depois multiplicar a ordenada por 2.)
    • Para x=1: f(1)=\dfrac{2}{1+1}=1. Portanto \left(1,1\right) é um ponto do gráfico.
    • Para x=-2: f(-2)=\dfrac{2}{-2+1}=\dfrac{2}{-1}=-2. Portanto \left(-2,-2\right) é um ponto do ramo negativo.

Passo 6

Assíntotas e domínio/contradomínio (peguei isso da forma algébrica da função):
  • Domínio: todos os x tais que o denominador não é zero, isto é x\neq -1.
  • Assíntota vertical: x=-1 (porque denominador x+1=0 lá).
  • Assíntota horizontal: y=0 (porque ao ter degrau de racional com grau do numerador menor que do denominador, a função tende a zero quando |x|\to\infty).
  • Limites próximos à assíntota vertical: \lim_{x\to-1^+}\frac{2}{x+1}=+\infty,\qquad \lim_{x\to-1^-}\frac{2}{x+1}=-\infty.
  • Limites no infinito: \lim_{x\to+\infty}\frac{2}{x+1}=0^+,\qquad \lim_{x\to-\infty}\frac{2}{x+1}=0^-.

Passo 7

Sinal da função e interceptos (usei a própria fórmula para checar):
  • Sinal: para x>-1 o denominador é positivo, logo f(x)>0. Para x<-1 o denominador é negativo, logo f(x)<0. Isso diz que o ramo superior fica à direita de x=-1 e o ramo inferior à esquerda de x=-1.
  • Intercepto com o eixo y: f(0)=2, então o gráfico corta o eixo y em \left(0,2\right).
  • Intercepto com o eixo x: não existe, pois \dfrac{2}{x+1}=0 não tem solução (um quociente é zero somente se o numerador é zero — aqui o numerador é 2\neq0).

Passo 8

Monotonicidade (fiz o cálculo do derivado para justificar):
  • Derivada: f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{2}{x+1}\right) = -\frac{2}{(x+1)^2}.
  • Como (x+1)^2>0 sempre (onde a função está definida), segue que f'(x)<0 para todo x\neq-1. Logo a função é estritamente decrescente em cada intervalo (-\infty,-1) e (-1,+\infty). Isso ajuda a desenhar os ramos sem oscilações: cada ramo é monotonicamente decrescente.

Passo 9

Como esboçar na folha (passo-a-passo prático para a prova):
  1. Desenhe duas linhas tracejadas: vertical em x=-1 e horizontal em y=0 (são as assíntotas).
  2. Marque o centro de simetria em (-1,0).
  3. Plote os pontos-chave: \left(0,2\right), \left(1,1\right), \left(-2,-2\right). Opcional: \left(2,\tfrac{2}{3}\right) para ajudar a forma do ramo direito.
  4. Lembre-se do comportamento perto da assíntota: à direita de x=-1 a curva sobe muito quando se aproxima de x=-1^+ e depois decai se aproximando de y=0^+ conforme x\to+\infty. À esquerda de x=-1 a curva vai para -\infty quando x\to-1^- e aproxima-se de y=0^- quando x\to-\infty.
  5. Desenhe suavemente os dois ramos hiperbólicos, sem cruzar as assíntotas, garantindo que o ramo direito fique acima do eixo x e o ramo esquerdo abaixo.

Passo 10

Resumo das informações que devem aparecer no esboço final (para conferir rápido no caderno):
  • Domínio: x\neq -1.
  • Assíntotas: vertical x=-1, horizontal y=0.
  • Pontos notáveis: \left(0,2\right), \left(1,1\right), \left(-2,-2\right).
  • Monotonicidade: estritamente decrescente em (-\infty,-1) e em (-1,\infty).
  • Não tem intercepto com o eixo x.

Resposta

Esboço: hipérbole centrada em (-1,0) com assíntotas x=-1 e y=0; passa por \left(0,2\right),\left(1,1\right),\left(-2,-2\right); domínio x\ne-1; imagem y\ne0.

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