Usando deslocamenos horizontais, verticais, e as funções vistas em aula, esboce o gráfico das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
usando deslocamentos horizontais/verticais e as funções vistas em aula.
Informações dadas (explicitadas):
Informações dadas (explicitadas):
- A função é
. - Precisa-se de um esboço (forma, assíntotas, pontos importantes), feito por transformações de uma função base.
Passo 2
Escolha do método: vamos usar a função base
e aplicar transformações simples (deslocamento horizontal e esticamento vertical).
Por quê? Porque é exatamente um múltiplo vertical de
, e
é uma translação horizontal de
. Esse caminho é curto, visual e seguro para esboçar no tempo de prova.
Por quê? Porque
Passo 3
Lembrete sobre a função base
:
- Gráfico: hipérbole com duas ramos, um no primeiro quadrante (x>0,y>0) e outro no terceiro quadrante (x<0,y<0).
- Assíntotas: vertical
e horizontal . - Alguns pontos fáceis:
, , . - Comportamento: quando
a função vai para ; quando vai para ; quando vai para .
Passo 4
Aplicando a primeira transformação: deslocamento horizontal para obter
.
- Regra geral: substituir
por resulta em deslocamento para a direita por . Aqui temos , logo é deslocamento para a esquerda de unidade. - Consequências imediatas:
- A assíntota vertical que era
passa a ser . - A assíntota horizontal continua sendo
. - O “centro” da hipérbole (ponto de simetria) passa de
para .
- A assíntota vertical que era
- Exemplos de pontos movidos (pegaram os pontos da base e deslocaram x em
): -
em vai para em . -
em vai para em .
-
Passo 5
Aplicando a segunda transformação: esticamento vertical por fator
para obter
.
- Regra: multiplicar a função por
(aqui ) multiplica todas as ordenadas por — ou seja, estica verticalmente. - Consequências:
- A assíntota vertical permanece
. - A assíntota horizontal permanece
(porque multiplicar por constante não cria deslocamento vertical). - O centro continua em
.
- A assíntota vertical permanece
- Pontos importantes após o esticamento (peguei alguns valores calculando na expressão original):
- Para
: . Portanto o gráfico passa por . (Esse ponto veio de deslocar para e depois multiplicar a ordenada por .) - Para
: . Portanto é um ponto do gráfico. - Para
: . Portanto é um ponto do ramo negativo.
- Para
Passo 6
Assíntotas e domínio/contradomínio (peguei isso da forma algébrica da função):
- Domínio: todos os
tais que o denominador não é zero, isto é . - Assíntota vertical:
(porque denominador lá). - Assíntota horizontal:
(porque ao ter degrau de racional com grau do numerador menor que do denominador, a função tende a zero quando ). - Limites próximos à assíntota vertical:
- Limites no infinito:
Passo 7
Sinal da função e interceptos (usei a própria fórmula para checar):
- Sinal: para
o denominador é positivo, logo . Para o denominador é negativo, logo . Isso diz que o ramo superior fica à direita de e o ramo inferior à esquerda de . - Intercepto com o eixo
: , então o gráfico corta o eixo em . - Intercepto com o eixo
: não existe, pois não tem solução (um quociente é zero somente se o numerador é zero — aqui o numerador é ).
Passo 8
Monotonicidade (fiz o cálculo do derivado para justificar):
- Derivada:
- Como
sempre (onde a função está definida), segue que para todo . Logo a função é estritamente decrescente em cada intervalo e . Isso ajuda a desenhar os ramos sem oscilações: cada ramo é monotonicamente decrescente.
Passo 9
Como esboçar na folha (passo-a-passo prático para a prova):
- Desenhe duas linhas tracejadas: vertical em
e horizontal em (são as assíntotas). - Marque o centro de simetria em
. - Plote os pontos-chave:
, , . Opcional: para ajudar a forma do ramo direito. - Lembre-se do comportamento perto da assíntota: à direita de
a curva sobe muito quando se aproxima de e depois decai se aproximando de conforme . À esquerda de a curva vai para quando e aproxima-se de quando . - Desenhe suavemente os dois ramos hiperbólicos, sem cruzar as assíntotas, garantindo que o ramo direito fique acima do eixo
e o ramo esquerdo abaixo.
Passo 10
Resumo das informações que devem aparecer no esboço final (para conferir rápido no caderno):
- Domínio:
. - Assíntotas: vertical
, horizontal . - Pontos notáveis:
, , . - Monotonicidade: estritamente decrescente em
e em . - Não tem intercepto com o eixo
.
Resposta
Esboço: hipérbole centrada em
com assíntotas
e
; passa por
; domínio
; imagem
.