Usando diferenciais, calcule o valor aproximado para
\sqrt[3]{9}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular um valor aproximado para \sqrt[3]{9} usando diferenciais.
Informações dadas: o número cujo cubo-roots queremos é 9. Não há outras informações explícitas.

Passo 2

Ideia da técnica (explicação didática): usamos uma aproximação linear (diferenciais) para a função f(x)=x^{1/3}. A ideia é escolher um ponto x_0 perto de 9 cujo valor de f(x_0) e f'(x_0) sejam fáceis de calcular, e então aproximar f(9) por:
f(9)\approx f(x_0)+f'(x_0)\,\Delta x,
onde \Delta x = 9-x_0. Isso vem da reta tangente: a mudança em f ao mudar x por um pequeno \Delta x é aproximadamente f'(x_0)\Delta x. É a mesma ideia que dizer "diferencial dy=f'(x)\,dx".

Passo 3

Escolha do ponto x_0: é conveniente escolher x_0 tal que x_0^{1/3} seja um número exato. Como 8=2^3 está bem perto de 9, escolhemos
x_0=8.
Então \Delta x = 9-8 = 1.

Passo 4

Calcular f(x) e f'(x): definimos
f(x)=x^{1/3}.
Derivando, usamos a regra de potência: se f(x)=x^{n} então f'(x)=n x^{n-1}. Aplicando com n=1/3 temos
f'(x)=\frac{1}{3}x^{-2/3}.
Agora avaliamos em x_0=8. Primeiro f(8)=8^{1/3}=2. Em seguida
f'(8)=\frac{1}{3}\cdot 8^{-2/3}.
Como 8^{1/3}=2, temos 8^{2/3}=(8^{1/3})^2=2^2=4, logo 8^{-2/3}=1/4. Então
f'(8)=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{12}.

Passo 5

Aplicar a aproximação linear (diferencial): com x_0=8, \Delta x=1, f(8)=2 e f'(8)=1/12, obtemos
\sqrt[3]{9}=f(9)\approx f(8)+f'(8)\,\Delta x = 2 + \frac{1}{12}\cdot 1 = 2+\frac{1}{12}=\frac{25}{12}.
Em forma decimal isso é
\frac{25}{12}\approx 2,083333\ldots

Passo 6

Breve comentário sobre erro (opcional, para você confiar na aproximação): a segunda derivada é
f''(x)=-\frac{2}{9}x^{-5/3}.
Como |f''(x)| é máxima no intervalo [8,9] em x=8, temos \max|f''|= \tfrac{2}{9}\cdot 8^{-5/3}=\tfrac{1}{144}. Pelas fórmulas de resto da aproximação linear, o erro absoluto é menor que
\frac{1}{2}\max|f''|\;(\Delta x)^2=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{144}\cdot 1 = \frac{1}{288}\approx 0,00347.
Como f''<0 no intervalo, a função é côncava para baixo e a aproximação por tangente superestima o valor real. Assim o valor real \sqrt[3]{9} está entre aproximadamente 2,083333-0,00347 e 2,083333, o que confirma que a aproximação é boa.

Resposta

\dfrac{25}{12}\approx 2,083333

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