Usando diferenciais, calcule o valor aproximado para
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular um valor aproximado para
usando diferenciais.
Informações dadas: o número cujo cubo-roots queremos é . Não há outras informações explícitas.
Informações dadas: o número cujo cubo-roots queremos é
Passo 2
Ideia da técnica (explicação didática): usamos uma aproximação linear (diferenciais) para a função
. A ideia é escolher um ponto
perto de
cujo valor de
e
sejam fáceis de calcular, e então aproximar
por:
onde
. Isso vem da reta tangente: a mudança em
ao mudar
por um pequeno
é aproximadamente
. É a mesma ideia que dizer "diferencial
".
Passo 3
Escolha do ponto
: é conveniente escolher
tal que
seja um número exato. Como
está bem perto de
, escolhemos
Então
.
Passo 4
Calcular
e
: definimos
Derivando, usamos a regra de potência: se
então
. Aplicando com
temos
Agora avaliamos em
. Primeiro
. Em seguida
Como
, temos
, logo
. Então
Passo 5
Aplicar a aproximação linear (diferencial): com
,
,
e
, obtemos
Em forma decimal isso é
Passo 6
Breve comentário sobre erro (opcional, para você confiar na aproximação): a segunda derivada é
Como
é máxima no intervalo
em
, temos
. Pelas fórmulas de resto da aproximação linear, o erro absoluto é menor que
Como
no intervalo, a função é côncava para baixo e a aproximação por tangente superestima o valor real. Assim o valor real
está entre aproximadamente
e
, o que confirma que a aproximação é boa.