Usando diferenciais, calcule o valor aproximado para
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule, usando diferenciais, um valor aproximado para
.
Informações dadas e objetivo:
Informações dadas e objetivo:
- Queremos aproximar
. - Devemos usar diferenciais (ou seja, a aproximação linear da função).
- Nenhuma outra informação numérica foi fornecida, então vou escolher um ponto próximo a
onde a raiz cúbica seja conhecida exatamente.
Passo 2
Escolher a função e o ponto de expansão. Vou trabalhar com a função
Escolho o ponto
porque é próximo de
e
é conhecido e simples:
Também vou usar
. Em linguagem de diferenciais, isso corresponde a
.
Passo 3
Explicar a ideia dos diferenciais / aproximação linear.
A aproximação linear (ou diferencial) diz que, para perto de
,
A aproximação linear (ou diferencial) diz que, para
Aqui
é a derivada de
em
, que representa a inclinação da reta tangente em
. Usamos essa reta para aproximar o valor de
em
próximo de
.
Passo 4
Calcular a derivada de
. Usando a regra do poder (derivada de
é
), para
temos
Agora avalio em
:
Calculo
, então
. Portanto
e assim
Passo 5
Aplicar a aproximação linear para
. Usando
substituo os valores que já tenho:
Transformando
em duodécimos:
. Assim
Passo 6
Dar a forma decimal e comentar brevemente sobre precisão. A fração obtida é
Arredondando com quatro casas decimais,
. Como
é pequeno e a função
é suave por aqui, essa aproximação é razoavelmente boa para uso em prova sem calculadora.