Usando diferenciais, calcule o valor aproximado para
\sqrt[3]{7}

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule, usando diferenciais, um valor aproximado para \sqrt[3]{7}.
Informações dadas e objetivo:
  • Queremos aproximar \sqrt[3]{7}.
  • Devemos usar diferenciais (ou seja, a aproximação linear da função).
  • Nenhuma outra informação numérica foi fornecida, então vou escolher um ponto próximo a 7 onde a raiz cúbica seja conhecida exatamente.

Passo 2

Escolher a função e o ponto de expansão. Vou trabalhar com a função
f(x)=x^{1/3}.
Escolho o ponto a=8 porque é próximo de 7 e \sqrt[3]{8} é conhecido e simples:
f(8)=\sqrt[3]{8}=2.
Também vou usar \Delta x = x-a = 7-8 = -1. Em linguagem de diferenciais, isso corresponde a dx=-1.

Passo 3

Explicar a ideia dos diferenciais / aproximação linear.
A aproximação linear (ou diferencial) diz que, para x perto de a,
f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a).
Aqui f'(a) é a derivada de f em a, que representa a inclinação da reta tangente em x=a. Usamos essa reta para aproximar o valor de f em x próximo de a.

Passo 4

Calcular a derivada de f. Usando a regra do poder (derivada de x^{n} é n x^{n-1}), para f(x)=x^{1/3} temos
f'(x)=\frac{1}{3}x^{-2/3}.
Agora avalio em x=8:
f'(8)=\frac{1}{3}\cdot 8^{-2/3}.
Calculo 8^{1/3}=2, então 8^{2/3}=(8^{1/3})^2=2^2=4. Portanto
8^{-2/3}=\frac{1}{4},
e assim
f'(8)=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{12}.

Passo 5

Aplicar a aproximação linear para x=7. Usando
f(7)\approx f(8)+f'(8)\,(7-8),
substituo os valores que já tenho:
f(7)\approx 2 + \frac{1}{12}\cdot(-1)=2-\frac{1}{12}.
Transformando 2 em duodécimos: 2=\frac{24}{12}. Assim
2-\frac{1}{12}=\frac{24}{12}-\frac{1}{12}=\frac{23}{12}.

Passo 6

Dar a forma decimal e comentar brevemente sobre precisão. A fração obtida é
\frac{23}{12}=1{,}91666\ldots
Arredondando com quatro casas decimais, \approx 1{,}9167. Como |\Delta x|=1 é pequeno e a função x^{1/3} é suave por aqui, essa aproximação é razoavelmente boa para uso em prova sem calculadora.

Resposta

\dfrac{23}{12}\approx 1{,}9167

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