Usando diferenciais, calcule um valor aproximado para:
\sqrt[3]{65,5}

Passo 1

O enunciado pede para aproximar \sqrt[3]{65,5} usando diferenciais. Vamos usar a função
f(x)=x^{1/3}
e aproximar em torno de a=64, pois \sqrt[3]{64}=4 é fácil de calcular.

Passo 2

Calculamos a derivada de f em x=a:
f'(x)=\tfrac{1}{3}x^{-2/3}
f'(64)=\tfrac{1}{3}\cdot 64^{-2/3}=\tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{1}{16}=\tfrac{1}{48}.
O incremento é
\Delta x = 65{,}5 - 64 = 1{,}5.

Passo 3

A variação aproximada de f é
\Delta f \approx f'(64)\,\Delta x = \tfrac{1}{48}\cdot 1{,}5 = 0{,}03125.
Logo
f(65{,}5)\approx f(64)+\Delta f = 4 + 0{,}03125 = 4{,}03125.

Resposta

A aproximação de \sqrt[3]{65,5} pelo método dos diferenciais é 4{,}03125.

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