Usando diferenciais, calcule um valor aproximado para:
\sqrt{37,5}

Passo 1

O enunciado pede para aproximar \sqrt{37,5} usando diferenciais (linearização). Vamos usar a função
f(x)=\sqrt{x}
e sua derivada para estimar o incremento em torno de um ponto a próximo de 37,5.

Passo 2

Calculamos a derivada de f e escrevemos a fórmula do diferencial:
f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}},
df \approx f'(a)\,dx,
onde dx = x - a e \Delta f\approx df.

Passo 3

Escolhemos a=36, pois \sqrt{36}=6 é exato e está perto de 37,5. Então
dx = 37,5 - 36 = 1,5,\quad f(36)=6,
f'(36)=\frac{1}{2\cdot6}=\frac{1}{12},
df \approx \frac{1}{12}\cdot1,5 = 0,125.
Logo, pela linearização,
\sqrt{37,5}\approx f(36)+df = 6 + 0,125 = 6,125.

Resposta

\displaystyle 6,125

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