Uma partícula move-se ao longo da curva s(t)=t^{3}-5 t^{2}-7 t-3. Calcule a aceleração no instante em que a velocidade é nula.

Passo 1

O enunciado nos dá a posição da partícula
s(t) = t^{3} - 5\,t^{2} - 7\,t - 3
e pede a aceleração no instante em que a velocidade é nula. O conteúdo que vamos usar é cálculo de derivadas: a primeira para obter v(t) e a segunda para obter a(t).

Passo 2

Derivando s(t) em relação a t, obtemos a velocidade
v(t) = s'(t) = 3\,t^{2} - 10\,t - 7
e, derivando v(t), obtemos a aceleração
a(t) = v'(t) = 6\,t - 10.

Passo 3

Para achar os instantes em que a velocidade se anula, resolvemos
3\,t^{2} - 10\,t - 7 = 0.
Pela fórmula de Bhaskara,
t = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^{2} - 4\cdot 3\cdot(-7)}}{2\cdot 3} = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 84}}{6} = \frac{10 \pm 2\sqrt{46}}{6} = \frac{5 \pm \sqrt{46}}{3}.

Passo 4

Agora substituímos cada um desses valores em a(t)=6t-10.
Para t = \dfrac{5 + \sqrt{46}}{3}:
a\Bigl(\tfrac{5 + \sqrt{46}}{3}\Bigr) = 6\cdot \tfrac{5 + \sqrt{46}}{3} - 10 = 2\,(5 + \sqrt{46}) - 10 = 2\sqrt{46}.
Para t = \dfrac{5 - \sqrt{46}}{3}:
a\Bigl(\tfrac{5 - \sqrt{46}}{3}\Bigr) = 2\,(5 - \sqrt{46}) - 10 = -2\sqrt{46}.

Resposta

Os instantes em que a velocidade é nula são
t = \frac{5 + \sqrt{46}}{3} \quad\text{e}\quad t = \frac{5 - \sqrt{46}}{3},
e as acelerações correspondentes nesses instantes são
a = 2\sqrt{46} \quad\text{e}\quad a = -2\sqrt{46},
respectivamente.

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