Usando as equações :
demonstre que o aumento do valor da razão de tensão
produz uma diminuição na amplitude da tensão
.
Passo 1
O enunciado fornece duas equações e pede para demonstrar que um aumento da razão de tensão
produz uma diminuição na amplitude da tensão
.
Informações dadas (copiadas do enunciado):
O que se pede:
- Mostrar, a partir das equações acima, que um aumento de
provoca uma diminuição de .
Variáveis (o que cada símbolo representa, explicitamente):
-
: valor máximo da tensão no ciclo. -
: valor mínimo da tensão no ciclo. -
: amplitude (aqui dada como diferença entre máximo e mínimo). -
: razão de tensões definida no enunciado por .
Passo 2
Isolamos
a partir da definição de
. Começo com
Multiplicando ambos os lados por
(assumindo
) e isolando
, obtemos
Explicação do passo: multiplicar por
é uma operação algébrica direta; isso nos dá
em função de
e
.
Passo 3
Substituímos a expressão de
na fórmula de
. Partimos de
Substituindo
entra:
Simplificando os sinais:
Fatorando
:
Comentário didático: agora temos
expressa explicitamente em função de
e de
. Isso é útil para analisar como
varia quando mudamos
, mantendo
fixo.
Passo 4
Analisamos a variação de
em relação a
. Diferenciando
em relação a
(considerando
constante), obtemos
Interpretação do resultado:
- Se
, então . Ou seja, um aumento de provoca um aumento de . - Se
, então . Ou seja, um aumento de provoca uma diminuição de .
Explicação física/numérica simples (exemplo): suponha
. Então
. Se
aumenta de
para
,
vai de
para
: aumentou. Se, por outro lado,
, então
e um aumento de
reduz o valor (mais negativo) — mas atenção: amplitude física costuma ser tomada como grandeza positiva, veja observação a seguir.
Passo 5
Observação sobre convenções: na prática da resistência dos materiais/fadiga costuma-se usar outras definições convenientes. Duas observações importantes:
- Frequentemente a amplitude é definida com fator
, isto é . Esse fator só altera uma constante multiplicativa e não muda o sinal da derivada em relação a . - A definição mais comum da razão de tensões é
(sem o sinal negativo). Se em vez de usássemos a definição comum , repetindo os mesmos passos teríamos:
e então
Nesse caso, se
a derivada é negativa e um aumento de
realmente produz uma diminuição de
. Ou seja: com a definição
(sem o sinal menos) e
, a afirmação pedida é verdadeira.
Passo 6
Conclusão lógica a partir dos passos anteriores (síntese didática):
- Usando exatamente as duas equações fornecidas no enunciado (
e ) cheguei a e a . Portanto, com essas mesmas equações, um aumento de leva a uma diminuição de somente se . Caso , um aumento de aumenta . - Se a intenção do enunciado era a afirmativa "aumentar
diminui " para o caso usual , então a definição de correta deveria ser (sem o menos). Com essa definição padrão obtém-se e daí quando , o que demonstra a afirmativa requerida.
Resposta
Usando as equações do enunciado obtemos
e
; logo, com as equações dadas, um aumento de
só diminui
se
.
Se a definição usual (sem o sinal negativo) for adotada, então
e
, de modo que, para
, um aumento de
realmente produz uma diminuição de
.
Se a definição usual