Usando as equações :
\begin{aligned} \sigma_{a} & =\left(\sigma_{\max }-\sigma_{\min }\right) \\\ R & =-\left(\sigma_{\min } / \sigma_{\max }\right) \end{aligned}
demonstre que o aumento do valor da razão de tensão \mathbf{R} produz uma diminuição na amplitude da tensão \sigma_{a}.

Passo 1

O enunciado fornece duas equações e pede para demonstrar que um aumento da razão de tensão \mathbf{R} produz uma diminuição na amplitude da tensão \sigma_{a}.
Informações dadas (copiadas do enunciado):
\sigma_{a} = \left(\sigma_{\max}-\sigma_{\min}\right)
R = -\left(\sigma_{\min}/\sigma_{\max}\right)
O que se pede:
  • Mostrar, a partir das equações acima, que um aumento de R provoca uma diminuição de \sigma_{a}.
Variáveis (o que cada símbolo representa, explicitamente):
  • \sigma_{\max}: valor máximo da tensão no ciclo.
  • \sigma_{\min}: valor mínimo da tensão no ciclo.
  • \sigma_{a}: amplitude (aqui dada como diferença entre máximo e mínimo).
  • R: razão de tensões definida no enunciado por \;R = -(\sigma_{\min}/\sigma_{\max}).

Passo 2

Isolamos \sigma_{\min} a partir da definição de R. Começo com
R = -\left(\sigma_{\min}/\sigma_{\max}\right).
Multiplicando ambos os lados por \sigma_{\max} (assumindo \sigma_{\max}\neq 0) e isolando \sigma_{\min}, obtemos
\sigma_{\min} = -R\,\sigma_{\max}.
Explicação do passo: multiplicar por \sigma_{\max} é uma operação algébrica direta; isso nos dá \sigma_{\min} em função de R e \sigma_{\max}.

Passo 3

Substituímos a expressão de \sigma_{\min} na fórmula de \sigma_{a}. Partimos de
\sigma_{a} = \sigma_{\max}-\sigma_{\min}.
Substituindo \sigma_{\min} = -R\,\sigma_{\max} entra:
\sigma_{a} = \sigma_{\max} - \bigl(-R\,\sigma_{\max}\bigr).
Simplificando os sinais:
\sigma_{a} = \sigma_{\max} + R\,\sigma_{\max}.
Fatorando \sigma_{\max}:
\sigma_{a} = \sigma_{\max}\,(1+R).
Comentário didático: agora temos \sigma_{a} expressa explicitamente em função de \sigma_{\max} e de R. Isso é útil para analisar como \sigma_{a} varia quando mudamos R, mantendo \sigma_{\max} fixo.

Passo 4

Analisamos a variação de \sigma_{a} em relação a R. Diferenciando \sigma_{a}=\sigma_{\max}(1+R) em relação a R (considerando \sigma_{\max} constante), obtemos
\frac{d\sigma_{a}}{dR} = \sigma_{\max}.
Interpretação do resultado:
  • Se \sigma_{\max}>0, então \dfrac{d\sigma_{a}}{dR}>0. Ou seja, um aumento de R provoca um aumento de \sigma_{a}.
  • Se \sigma_{\max}<0, então \dfrac{d\sigma_{a}}{dR}<0. Ou seja, um aumento de R provoca uma diminuição de \sigma_{a}.
Explicação física/numérica simples (exemplo): suponha \sigma_{\max}=100. Então \sigma_{a}=100(1+R). Se R aumenta de 0{,}2 para 0{,}5, \sigma_{a} vai de 120 para 150: aumentou. Se, por outro lado, \sigma_{\max}=-100, então \sigma_{a}=-100(1+R) e um aumento de R reduz o valor (mais negativo) — mas atenção: amplitude física costuma ser tomada como grandeza positiva, veja observação a seguir.

Passo 5

Observação sobre convenções: na prática da resistência dos materiais/fadiga costuma-se usar outras definições convenientes. Duas observações importantes:
  1. Frequentemente a amplitude é definida com fator 1/2, isto é \sigma_{a}=(\sigma_{\max}-\sigma_{\min})/2. Esse fator 1/2 só altera uma constante multiplicativa e não muda o sinal da derivada em relação a R.
  2. A definição mais comum da razão de tensões é R=\sigma_{\min}/\sigma_{\max} (sem o sinal negativo). Se em vez de R=-\sigma_{\min}/\sigma_{\max} usássemos a definição comum R=\sigma_{\min}/\sigma_{\max}, repetindo os mesmos passos teríamos:
\sigma_{\min}=R\,\sigma_{\max}
\sigma_{a}=\sigma_{\max}-\sigma_{\min}=\sigma_{\max}-R\,\sigma_{\max}=\sigma_{\max}(1-R),
e então
\frac{d\sigma_{a}}{dR}=-\sigma_{\max}.
Nesse caso, se \sigma_{\max}>0 a derivada é negativa e um aumento de R realmente produz uma diminuição de \sigma_{a}. Ou seja: com a definição R=\sigma_{\min}/\sigma_{\max} (sem o sinal menos) e \sigma_{\max}>0, a afirmação pedida é verdadeira.

Passo 6

Conclusão lógica a partir dos passos anteriores (síntese didática):
  • Usando exatamente as duas equações fornecidas no enunciado ( \sigma_{a}=\sigma_{\max}-\sigma_{\min} e R=-\sigma_{\min}/\sigma_{\max}) cheguei a \sigma_{a}=\sigma_{\max}(1+R) e a \dfrac{d\sigma_{a}}{dR}=\sigma_{\max}. Portanto, com essas mesmas equações, um aumento de R leva a uma diminuição de \sigma_{a} somente se \sigma_{\max}<0. Caso \sigma_{\max}>0, um aumento de R aumenta \sigma_{a}.
  • Se a intenção do enunciado era a afirmativa "aumentar R diminui \sigma_{a}" para o caso usual \sigma_{\max}>0, então a definição de R correta deveria ser R=\sigma_{\min}/\sigma_{\max} (sem o menos). Com essa definição padrão obtém-se \sigma_{a}=\sigma_{\max}(1-R) e daí \dfrac{d\sigma_{a}}{dR}=-\sigma_{\max}<0 quando \sigma_{\max}>0, o que demonstra a afirmativa requerida.

Resposta

Usando as equações do enunciado obtemos \sigma_{a}=\sigma_{\max}(1+R) e \dfrac{d\sigma_{a}}{dR}=\sigma_{\max}; logo, com as equações dadas, um aumento de R só diminui \sigma_{a} se \sigma_{\max}<0.
Se a definição usual R=\sigma_{\min}/\sigma_{\max} (sem o sinal negativo) for adotada, então \sigma_{a}=\sigma_{\max}(1-R) e \dfrac{d\sigma_{a}}{dR}=-\sigma_{\max}, de modo que, para \sigma_{\max}>0, um aumento de R realmente produz uma diminuição de \sigma_{a}.

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