Usando as equações de Cauchy-Riemann, prove:
Passo 1
O enunciado pede para provar que, usando as equações de Cauchy–Riemann, a função
tem derivada em todo
e que
O conteúdo aqui é Análise Complexa: mostrar que
é holomorfa (satisfaça as equações de Cauchy–Riemann) e então usar a fórmula
Passo 2
Escrevemos
Logo, definimos as partes real e imaginária como
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais de
e
:
Passo 4
Verificamos as equações de Cauchy–Riemann:
Elas se cumprem, logo
é holomorfa.
Passo 5
Como
é holomorfa, sua derivada é
Passo 6
Substituindo os valores de
e
, obtemos