(a) Se f(z)=u(x, y)+i v(x, y) é analítica no domínio D, provar que as famílias de curvas de um parâmetro u(x, y)=C_{1} e v(x, y)=C_{2} são famílias ortogonais. (b) Exemplificar para f(z)=z^{2}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Provar que, se f(z)=u(x,y)+iv(x,y) é analítica em D, então as famílias de curvas de nível
    \;u(x,y)=C_1
    e
    \;v(x,y)=C_2
    são ortogonais.
  2. Dar um exemplo concreto para f(z)=z^2.
Para resolver a parte (a) vamos usar:
  • Definição de curvas de nível e derivação implícita para obter os declives dessas curvas.
  • Equações de Cauchy–Riemann para relacionar as derivadas parciais de u e v.
  • Critério de ortogonalidade de duas curvas planas: o produto de seus declives deve ser -1.

Passo 2

Determinar o declive da curva de nível u(x,y)=C_1. Diferenciando implicitamente em relação a x obtemos
u_x + u_y\,\frac{dy}{dx}=0
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\frac{dy}{dx}\Big|_{u=C_1}=-\frac{u_x}{u_y}.
De modo análogo, para v(x,y)=C_2 vem
v_x + v_y\,\frac{dy}{dx}=0
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\frac{dy}{dx}\Big|_{v=C_2}=-\frac{v_x}{v_y}.

Passo 3

Aplicar as equações de Cauchy–Riemann, que dizem
u_x=v_y \quad\text{e}\quad u_y=-\,v_x.
Substituindo em \displaystyle \frac{dy}{dx}\Big|_{u}\cdot\frac{dy}{dx}\Big|_{v} =\bigl(-\tfrac{u_x}{u_y}\bigr)\bigl(-\tfrac{v_x}{v_y}\bigr),
temos
\frac{dy}{dx}\Big|_{u}\cdot\frac{dy}{dx}\Big|_{v} =\Bigl(-\frac{u_x}{u_y}\Bigr)\Bigl(-\frac{-u_y}{u_x}\Bigr) =-1.
Como o produto dos declives é -1, as curvas de nível são ortogonais.

Passo 4

Exemplo para f(z)=z^2. Escrevendo z=x+iy, temos
f(z)=z^2=(x^2-y^2)+i\,(2xy),
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u(x,y)=x^2-y^2, \quad v(x,y)=2xy.
Para u=C_1 o declive é
\frac{dy}{dx}\Big|_{u} =-\frac{u_x}{u_y} =-\frac{2x}{-2y} =\frac{x}{y}.
Para v=C_2 o declive é
\frac{dy}{dx}\Big|_{v} =-\frac{v_x}{v_y} =-\frac{2y}{2x} =-\frac{y}{x}.
O produto é
\frac{x}{y}\cdot\Bigl(-\frac{y}{x}\Bigr)=-1,
confirmando que as hipérboles x^2-y^2=C_1 e 2xy=C_2 se cruzam ortogonalmente.

Resposta

(a) Pelas equações de Cauchy–Riemann, o produto dos declives das curvas de nível de u e de v vale -1, logo são ortogonais.
(b) Em f(z)=z^2, u=x^2-y^2, v=2xy; as famílias x^2-y^2=C_1 e 2xy=C_2 têm declives \tfrac{x}{y} e -\tfrac{y}{x}, cujo produto é -1.

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