Usando escalonamento, determine o valor de k para que o sistema abaixo tenha:
(a) solução única, infinitas soluções ou não tenha solução.
(b) Para k=2, verifique que conjunto solução, S_{2}, é um espaço vetorial, determine uma base e sua dimensão.
(c) Determine W tal que \mathbb{R}^{3}=W \oplus S_{2}
\left\{\begin{array}{c} x+y-z=0 \\\\ 2 x+3 y+k z=0 \\\ x+k y+3 z=0 \end{array}\right.

Passo 1

O sistema homogêneo em \mathbb{R}^3\) é \[\begin{cases} x + y - z =0,\\\\ 2x + 3y + k z =0,\\\ x + k y +3 z=0. \end{cases}
Vamos usar escalonamento e determinante da matriz de coeficientes para classificar as soluções em função de k\]. Em seguida, para \(k=2, encontraremos o espaço solução S_{2} e, por fim, um complemento W tal que \mathbb{R}^3 = W \oplus S_{2}.

Passo 2

A matriz dos coeficientes é
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\\\ 2 & 3 & k\\\\ 1 & k & 3 \end{pmatrix}.
Calculamos o determinante por desenvolvimento na primeira linha:
\det(A) =1\cdot(3\cdot3 - k\cdot k) -1\cdot(2\cdot3 - k\cdot1) -1\cdot(2\cdot k - 3\cdot1) =9 - k^2 - (6 - k) - (2k - 3).
Simplificando,
\det(A)=9 - k^2 - 6 + k -2k +3 =6 - k - k^2 =-(k+3)(k-2).

Passo 3

Como o sistema é homogêneo, ele tem sempre a solução trivial.
  • Se \det(A)\neq0, ou seja k\neq2 e k\neq-3, o posto é 3 e há solução única (apenas a trivial).
  • Se \det(A)=0, ou seja k=2 ou k=-3, o posto cai e surgem infinitas soluções não triviais.
    Não existe caso sem solução porque um sistema homogêneo é sempre compatível.

Passo 4

Para k=2\), o sistema fica \[\begin{cases} x + y - z =0,\\\\ 2x + 3y + 2z =0,\\\ x + 2y + 3z =0. \end{cases}
Da primeira equação x = z - y\]. Substituindo na segunda: \[2(z-y)+3y+2z=0 \;\Longrightarrow\; 4z+y=0 \;\Longrightarrow\; y=-4z.\] Então \(x=z-(-4z)=5z. A terceira equação é 5z-8z+3z=0, sempre satisfeita. Logo
(x,y,z)=z\,(5,-4,1),
e
S_{2}=\{\,z(5,-4,1)\mid z\in\mathbb{R}\} = \Span\{(5,-4,1)\}.
Uma base de S_{2} é \{(5,-4,1)\} e \dim(S_{2})=1.

Passo 5

Para um complemento direto basta escolher um plano de dimensão 2 que intersecte S_{2} só no zero. Por exemplo, o plano z=0:
W = \{(x,y,0)\mid x,y\in\mathbb{R}\} =\Span\{(1,0,0),(0,1,0)\}.
Temos W\cap S_{2}=\{0\} e \dim(W)=2, logo
\mathbb{R}^3 = W \oplus S_{2}.

Resposta

(a) Solução única para k\neq2 e k\neq-3;; infinitas soluções para k=2 ou k=-3;; sem caso sem solução.
(b) Para k=2:
S_{2}=\Span\{(5,-4,1)\},\quad \dim(S_{2})=1,\quad \text{base }\{(5,-4,1)\}.
(c) Um complemento é
W = \{(x,y,0)\mid x,y\in\mathbb{R}\} = \Span\{(1,0,0),(0,1,0)\},
com \mathbb{R}^3 = W \oplus S_{2}.

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