Usando escalonamento, determine o valor de k para que o sistema abaixo tenha:
(a) solução única, infinitas soluções ou não tenha solução.
(b) Para k=2, verifique que conjunto solução, S_{2}, é um espaço vetorial, determine uma base e sua dimensão.
(c) Determine W tal que \mathbb{R}^{3}=W \oplus S_{2}
O sistema homogêneo em \mathbb{R}^3\) é
\[\begin{cases} x + y - z =0,\\\\ 2x + 3y + k z =0,\\\ x + k y +3 z=0. \end{cases}
Vamos usar escalonamento e determinante da matriz de coeficientes para classificar as soluções em função de k\]. Em seguida, para \(k=2, encontraremos o espaço solução S_{2} e, por fim, um complemento W tal que \mathbb{R}^3 = W \oplus S_{2}.
Passo 2
A matriz dos coeficientes é
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\\\ 2 & 3 & k\\\\ 1 & k & 3 \end{pmatrix}.
Calculamos o determinante por desenvolvimento na primeira linha:
\det(A)=9 - k^2 - 6 + k -2k +3 =6 - k - k^2 =-(k+3)(k-2).
Passo 3
Como o sistema é homogêneo, ele tem sempre a solução trivial.
Se \det(A)\neq0, ou seja k\neq2 e k\neq-3, o posto é 3 e há solução única (apenas a trivial).
Se \det(A)=0, ou seja k=2 ou k=-3, o posto cai e surgem infinitas soluções não triviais.
Não existe caso sem solução porque um sistema homogêneo é sempre compatível.
Passo 4
Para k=2\), o sistema fica
\[\begin{cases} x + y - z =0,\\\\ 2x + 3y + 2z =0,\\\ x + 2y + 3z =0. \end{cases}
Da primeira equação x = z - y\]. Substituindo na segunda:
\[2(z-y)+3y+2z=0 \;\Longrightarrow\; 4z+y=0 \;\Longrightarrow\; y=-4z.\]
Então \(x=z-(-4z)=5z. A terceira equação é 5z-8z+3z=0, sempre satisfeita. Logo