Verifique se W é subespaço vetorial de V e determine uma base e dimensão do subespaço W :
W=\{(a, b, c) \in V: a \in \mathbb{Q}\} e V=\mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V = \mathbb{R}^3 sobre o corpo \mathbb{R} e o subconjunto
W = \{(a,b,c)\in V : a\in\mathbb{Q}\}.
Pede-se verificar se W é subespaço vetorial de V (sobre \mathbb{R}) e, em caso afirmativo, determinar sua base e dimensão.

Passo 2

Recordamos que um subconjunto W de um espaço vetorial V sobre \mathbb{R} é subespaço se, e somente se, satisfaz:
  1. O vetor zero de V está em W.
  2. É fechado sob soma de vetores.
  3. É fechado sob multiplicação por escalares \alpha\in\mathbb{R}.

Passo 3

Verificação da soma:
Sejam
u = (a,b,c)\in W,\quad v = (a',b',c')\in W.
Então a,a'\in\mathbb{Q} e b,b',c,c'\in\mathbb{R}. A soma é
u+v = (a+a',\,b+b',\,c+c'),
onde a+a'\in\mathbb{Q} (pois \mathbb{Q} é fechado sob adição). Logo u+v\in W.

Passo 4

Verificação da multiplicação escalar:
Seja \alpha\in\mathbb{R} e
u = (a,b,c)\in W,\quad a\in\mathbb{Q}.
Então
\alpha u = (\alpha a,\,\alpha b,\,\alpha c).
Para \alpha irracional e a\neq0 em \mathbb{Q}, o produto \alpha a geralmente não pertence a \mathbb{Q}. Por exemplo, se a=1 e \alpha=\sqrt2, então \alpha a = \sqrt2\notin\mathbb{Q}, logo \alpha u\notin W. Assim W não é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 5

Como falha a condição de fechamento sob multiplicação por escalares de \mathbb{R}$, concluímos que \(W não é subespaço vetorial de V. Portanto não faz sentido falar em base ou dimensão de W como subespaço de \mathbb{R}^3.)

Resposta

W não é subespaço vetorial de V=\mathbb{R}^3.

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