Verifique se
é subespaço vetorial de
e determine uma base e dimensão do subespaço
:
e
.
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
sobre o corpo
e o subconjunto
Pede-se verificar se
é subespaço vetorial de
(sobre
) e, em caso afirmativo, determinar sua base e dimensão.
Passo 2
Recordamos que um subconjunto
de um espaço vetorial
sobre
é subespaço se, e somente se, satisfaz:
- O vetor zero de
está em . - É fechado sob soma de vetores.
- É fechado sob multiplicação por escalares
.
Passo 3
Verificação da soma:
Sejam
Sejam
Então
e
. A soma é
onde
(pois
é fechado sob adição). Logo
.
Passo 4
Verificação da multiplicação escalar:
Seja e
Seja
Então
Para
irracional e
em
, o produto
geralmente não pertence a
. Por exemplo, se
e
, então
, logo
. Assim
não é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 5
Como falha a condição de fechamento sob multiplicação por escalares de
não é subespaço vetorial de
. Portanto não faz sentido falar em base ou dimensão de
como subespaço de
.)