Verifique se W é subespaço vetorial de V e determine uma base e dimensão do subespaço W :
W=\left\{A \in V: a_{11}=a_{22}\right\} e V=M(\mathbb{R}, 2);

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V=M(\mathbb{R},2), ou seja, todas as matrizes 2\times2 com entradas em \mathbb{R}, e o subconjunto
W = \bigl\{A=(a_{ij})\in V : a_{11}=a_{22}\bigr\}.
O objetivo é verificar que W é subespaço de V (mostrar que contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação por escalar) e, em seguida, encontrar uma base de W e sua dimensão.

Passo 2

Para mostrar que W é subespaço de V verificamos três propriedades:
  1. O elemento zero de V é a matriz
    O = \begin{pmatrix}0 & 0 \\[6pt] 0 & 0\end{pmatrix},
    e em O claramente 0 = 0, logo O\in W.
  2. Fechamento sob soma. Se
    A = \begin{pmatrix}a & b \\[3pt] c & a\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad B = \begin{pmatrix}d & e \\[3pt] f & d\end{pmatrix}
    estão em W, então
    A+B = \begin{pmatrix}a+d & b+e \\[3pt] c+f & a+d\end{pmatrix}
    também satisfaz (a+d)=(a+d), logo A+B\in W.
  3. Fechamento sob multiplicação escalar. Para \lambda\in\mathbb{R} e
    A = \begin{pmatrix}a & b \\[3pt] c & a\end{pmatrix}\in W
    vale
    \lambda A = \begin{pmatrix}\lambda a & \lambda b \\[3pt] \lambda c & \lambda a\end{pmatrix},
    onde \lambda a = \lambda a, logo \lambda A\in W.
Portanto, W é subespaço vetorial de V.]

Passo 3

Para encontrar uma base de W, note que uma matriz genérica em W é da forma
A = \begin{pmatrix}a & b \\[3pt] c & a\end{pmatrix},
com a,b,c\in\mathbb{R}. Podemos decompor
A = a\begin{pmatrix}1 & 0 \\[3pt] 0 & 1\end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}0 & 1 \\[3pt] 0 & 0\end{pmatrix} + c\begin{pmatrix}0 & 0 \\[3pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
Isso mostra que
E_1 = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[3pt] 0 & 1\end{pmatrix},\quad E_2 = \begin{pmatrix}0 & 1 \\[3pt] 0 & 0\end{pmatrix},\quad E_3 = \begin{pmatrix}0 & 0 \\[3pt] 1 & 0\end{pmatrix}
geram W. Além disso, são linearmente independentes pois nenhuma combinação não trivial delas pode ser a matriz zero sem zerar os coeficientes a,b,c.]

Passo 4

Concluímos que
\mathcal{B} = \{E_1, E_2, E_3\}
é uma base de W. Como há três vetores em \mathcal{B}, a dimensão de W é
\dim W = 3.

Resposta

W é subespaço vetorial de V.
Uma base de W é
\left\{\begin{pmatrix}1 & 0 \\[3pt] 0 & 1\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0 & 1 \\[3pt] 0 & 0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0 & 0 \\[3pt] 1 & 0\end{pmatrix}\right\},
e \dim W = 3.]

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