Verifique se
é subespaço vetorial de
e determine uma base e dimensão do subespaço
:
e
;
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
, ou seja, todas as matrizes
com entradas em
, e o subconjunto
O objetivo é verificar que
é subespaço de
(mostrar que contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação por escalar) e, em seguida, encontrar uma base de
e sua dimensão.
Passo 2
Para mostrar que
é subespaço de
verificamos três propriedades:
-
O elemento zero de
é a matriz e emclaramente , logo . -
Fechamento sob soma. Seestão em
, então também satisfaz, logo . -
Fechamento sob multiplicação escalar. Para
e valeonde, logo .
Portanto,
é subespaço vetorial de
.]
Passo 3
Para encontrar uma base de
, note que uma matriz genérica em
é da forma
com
. Podemos decompor
Isso mostra que
geram
. Além disso, são linearmente independentes pois nenhuma combinação não trivial delas pode ser a matriz zero sem zerar os coeficientes
.]
Passo 4
Concluímos que
é uma base de
. Como há três vetores em
, a dimensão de
é
Resposta
Uma base de
e
.]