Usando a expressão alternativa acima, determine as componentes tangencial e normal da aceleração no instante t, para a curva C dada por um círculo planar de raio k.

Passo 1

O enunciado pede para usar a expressão alternativa para decompor a aceleração
\mathbf{a} = \frac{d^{2}s}{dt^{2}}\,\mathbf{T} \;+\;\kappa\Bigl(\frac{ds}{dt}\Bigr)^{2}\mathbf{N}
na curva C que é um círculo de raio k. Vamos precisar da curvatura do círculo e da velocidade escalar ao longo da curva.

Passo 2

Para um círculo de raio k a curvatura é constante e vale
\kappa = \frac{1}{k}.

Passo 3

Uma parametrização natural do círculo em função de t é
\mathbf{r}(t) = \bigl(k\cos t,\;k\sin t\bigr).
Dessa forma a velocidade escalar (módulo de \mathbf{v}) é
\frac{ds}{dt} = \|\mathbf{v}(t)\| = \bigl\|\bigl(-k\sin t,\;k\cos t\bigr)\bigr\| = k,
que é constante.

Passo 4

Como \tfrac{ds}{dt}=k é constante, temos
\frac{d^{2}s}{dt^{2}} = 0,
logo a componente tangencial da aceleração é
a_{T} = \frac{d^{2}s}{dt^{2}} = 0.
Para a componente normal usamos
a_{N} = \kappa\Bigl(\frac{ds}{dt}\Bigr)^{2} = \frac{1}{k}\,(k)^{2} = k.

Resposta

A componente tangencial é a_{T}(t)=0 e a componente normal é a_{N}(t)=k.

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