Exemplo 13. Seja F(t)=(\cos t, 2 \operatorname{sen} t) ; t \in \mathbb{R}. Determine a equação vetorial da reta tangente a esta elipse nos pontos F(\pi / 2) e F(\pi / 4).

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
F(t) = (\cos t,\;2\sin t),
que é uma elipse, e pede a equação vetorial da reta tangente nos pontos t_0=\pi/2 e t_0=\pi/4.
Para isso precisamos:
  1. Calcular a derivada F'(t).
  2. Avaliar F(t_0) e F'(t_0).
  3. Escrever a reta na forma
\mathbf{r}(s)=F(t_0)+s\,F'(t_0).

Passo 2

Derivando componente a componente, usando \frac{d}{dt}\cos t=-\sin t e \frac{d}{dt}\sin t=\cos t, obtemos
F'(t)=\bigl(-\sin t,\;2\cos t\bigr).

Passo 3

Para t_0=\pi/2:
F\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\bigl(\cos\tfrac{\pi}{2},\,2\sin\tfrac{\pi}{2}\bigr)=(0,2),
F'\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\bigl(-\sin\tfrac{\pi}{2},\,2\cos\tfrac{\pi}{2}\bigr)=(-1,0).
Logo a reta tangente é
\mathbf{r}(s)=(0,2)+s\,(-1,0).

Passo 4

Para t_0=\pi/4:
F\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\Bigl(\cos\tfrac{\pi}{4},\,2\sin\tfrac{\pi}{4}\Bigr) =\Bigl(\tfrac{\sqrt2}{2},\,\sqrt2\Bigr),
F'\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\Bigl(-\sin\tfrac{\pi}{4},\,2\cos\tfrac{\pi}{4}\Bigr) =\Bigl(-\tfrac{\sqrt2}{2},\,\sqrt2\Bigr).
Logo a reta tangente é
\mathbf{r}(s)=\Bigl(\tfrac{\sqrt2}{2},\,\sqrt2\Bigr) +s\,\Bigl(-\tfrac{\sqrt2}{2},\,\sqrt2\Bigr).

Resposta

Reta tangente em F(\pi/2):
\mathbf{r}(s)=(0,2)+s\,(-1,0).
Reta tangente em F(\pi/4):
\mathbf{r}(s)=\Bigl(\tfrac{\sqrt2}{2},\,\sqrt2\Bigr) +s\,\Bigl(-\tfrac{\sqrt2}{2},\,\sqrt2\Bigr).

Exercícios relacionados