Exemplo 12. Seja F(t)=\left(t^{2}, \operatorname{arctg}(2 t), e^{-t}\right). Calcule F^{\prime}(t) e F^{\prime \prime}(t).

Passo 1

O enunciado nos dá a função vetorial
F(t) = \bigl(t^{2},\,\arctan(2t),\,e^{-t}\bigr)
e pede F'(t) e F''(t). O conteúdo usado é derivação de funções vetoriais feita componente a componente, usando regra de potência, regra da cadeia e derivada de exponencial.

Passo 2

Derivada da primeira componente f_{1}(t)=t^{2}. Por regra de potência,
f_{1}'(t) = 2t.

Passo 3

Derivada da segunda componente f_{2}(t)=\arctan(2t). Aplicamos a regra da cadeia: se u=2t, então
\frac{d}{dt}\arctan(u) = \frac{1}{1+u^{2}}\cdot u' \quad\Longrightarrow\quad f_{2}'(t) = \frac{1}{1+(2t)^{2}}\cdot 2 = \frac{2}{1+4t^{2}}.

Passo 4

Derivada da terceira componente f_{3}(t)=e^{-t}. Usamos derivada de exponencial composta:
f_{3}'(t) = e^{-t}\cdot(-1) = -e^{-t}.

Passo 5

Juntando as três componentes, obtemos
F'(t) = \bigl(2t,\;\tfrac{2}{1+4t^{2}},\;-e^{-t}\bigr).

Passo 6

Agora derivamos cada componente de F'(t) para achar F''(t).
  1. Primeira componente 2t
\frac{d}{dt}(2t) = 2.
  1. Segunda componente \displaystyle \frac{2}{1+4t^{2}}. Defina g(t)=(1+4t^{2})^{-1}, então
\frac{d}{dt}\Bigl(2g(t)\Bigr) =2\,g'(t) =2\cdot(-1)(1+4t^{2})^{-2}\cdot(8t) = -\frac{16t}{(1+4t^{2})^{2}}.
  1. Terceira componente -e^{-t}
\frac{d}{dt}\bigl(-e^{-t}\bigr) = -\bigl(-e^{-t}\bigr) = e^{-t}.

Passo 7

Colocando tudo junto, concluímos
F''(t) = \Bigl(2,\;-\tfrac{16t}{(1+4t^{2})^{2}},\;e^{-t}\Bigr).

Resposta

F'(t) = \bigl(2t,\;\tfrac{2}{1+4t^{2}},\;-e^{-t}\bigr), \quad F''(t) = \Bigl(2,\;-\tfrac{16t}{(1+4t^{2})^{2}},\;e^{-t}\Bigr).

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