Usando as expressões dos semieixos maior a e do menor b das órbitas elípticas em termos do ponto de estabilidade r0 e da excentricidade e, isto é
a=r0(1-e^2), b=r0(1-e^2)^1 / 2,
mostre explicitamente a terceira lei de Kepler, isto é, que o período satisfaz
T^2=(4 pi^2G M) a^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar a terceira lei de Kepler usando as expressões dos semieixos maior a = r01 - e^2, b = r0raiz1 - e^2 e menor T^2 = (4 pi^2G M) a^3 das órbitas elípticas, que são dadas em termos do ponto de estabilidade e da excentricidade . Ou seja, temos:
Nosso objetivo é chegar à terceira lei de Kepler, que relaciona o período orbital com o semieixo maior :
Vamos precisar entender um pouco de mecânica orbital e como esses parâmetros se relacionam para chegar nessa expressão final.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a terceira lei de Kepler relaciona o período de revolução de um planeta ao redor do Sol com o seu semieixo maior da órbita. Para chegar nessa relação, vamos usar a lei da gravitação universal de Newton e as propriedades das órbitas elípticas.
A força gravitacional que mantém o planeta em órbita é igual à força centrípeta necessária para mantê-lo em movimento circular (mesmo que a órbita seja elíptica, podemos considerar a média). A força gravitacional é dada por:
F = G M mr^2
Onde:
  • Fc = m v^2r é a constante gravitacional,
  • G M mr^2 = m v^2r é a massa do Sol,
  • G Mr^2 = v^2r é a massa do planeta,
  • G Mr = v^2 é a distância entre o Sol e o planeta.
A força centrípeta é:
Onde é a velocidade orbital.
Igualando as duas forças:
Podemos simplificar dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 3

Agora, vamos relacionar a velocidade orbital v = 2 pi rT com o período G Mr = (2 pi rT)^2 . Sabemos que a velocidade é distância sobre tempo, então:
G Mr = 4 pi^2 r^2T^2
Substituindo na equação anterior:
Expandindo o quadrado:

Passo 4

Vamos arrumar essa equação para isolar G M T^2 = 4 pi^2 r^3 . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por T^2 = 4 pi^2G M r^3 :
Agora, dividimos ambos os lados por :

Passo 5

Até aqui, chegamos a:
T^2 = 4 pi^2G M r^3
No entanto, estamos trabalhando com órbitas elípticas, onde T^2 = 4 pi^2G M a^3 varia. Nesses casos, usamos o semieixo maior como valor médio da distância. Assim, substituímos por :
E pronto! Isso é exatamente a terceira lei de Kepler.

Resposta

A terceira lei de Kepler é demonstrada como:
T^2 = (4 pi^2G M) a^3

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