Uma massa pontual
está localizada a uma distância
da extremidade mais próxima de uma barra fina de massa
e comprimento
ao longo do eixo da barra. Encontre a força gravitacional exercida na massa pontual pela barra.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma massa pontual
localizada a uma distância
da extremidade mais próxima de uma barra fina com massa
e comprimento
. Nosso objetivo é encontrar a força gravitacional que a barra exerce na massa pontual. Para isso, vamos usar conceitos de Gravitação Universal e Cálculo Integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a força gravitacional funciona. A Lei da Gravitação Universal de Newton diz que duas massas se atraem com uma força
que é proporcional ao produto das massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas:
Onde:
-
é a constante gravitacional, -
e são as massas, -
é a distância entre elas.
No nosso caso, a barra tem comprimento
e está composta por infinitos pedaços de massa. Então, vamos dividir a barra em pequenos elementos para calcular a força total.
Passo 3
Vamos considerar um elemento infinitesimal da barra com comprimento
localizado a uma distância
da extremidade mais próxima à massa
. A massa desse elemento
pode ser expressa como:
Aqui,
representa a densidade linear da barra.
Passo 4
A distância entre o elemento
e a massa
é
. A força gravitacional
exercida por esse elemento sobre
é:
Substituindo
:
Passo 5
Para encontrar a força total
, precisamos integrar
ao longo de todo o comprimento da barra, ou seja, de
até
:
Passo 6
Vamos resolver a integral:
A integral de
é:
Passo 7
Aplicando os limites de integração:
Simplificando:
Passo 8
Finalmente, juntando tudo:
Resposta
A força gravitacional exercida na massa pontual pela barra é: