Uma massa pontual m está localizada a uma distância D da extremidade mais próxima de uma barra fina de massa M e comprimento L ao longo do eixo da barra. Encontre a força gravitacional exercida na massa pontual pela barra.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma massa pontual localizada a uma distância da extremidade mais próxima de uma barra fina com massa e comprimento . Nosso objetivo é encontrar a força gravitacional que a barra exerce na massa pontual. Para isso, vamos usar conceitos de Gravitação Universal e Cálculo Integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a força gravitacional funciona. A Lei da Gravitação Universal de Newton diz que duas massas se atraem com uma força F = G m1 m2r^2 que é proporcional ao produto das massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas:
Onde:
  • é a constante gravitacional,
  • e são as massas,
  • é a distância entre elas.
No nosso caso, a barra tem comprimento e está composta por infinitos pedaços de massa. Então, vamos dividir a barra em pequenos elementos para calcular a força total.

Passo 3

Vamos considerar um elemento infinitesimal da barra com comprimento dm = ML dx localizado a uma distância da extremidade mais próxima à massa . A massa desse elemento pode ser expressa como:
Aqui, representa a densidade linear da barra.

Passo 4

A distância entre o elemento dF = G m , dm(D + x)^2 e a massa dF = G m ( ML dx )(D + x)^2 é . A força gravitacional exercida por esse elemento sobre é:
Substituindo :

Passo 5

Para encontrar a força total F = integral0^L G m ( ML )(D + x)^2 dx , precisamos integrar ao longo de todo o comprimento da barra, ou seja, de até :

Passo 6

Vamos resolver a integral:
F = G m ML integral0^L 1(D + x)^2 dx
A integral de integral 1(D + x)^2 dx = -1D + x + C é:

Passo 7

Aplicando os limites de integração:
F = G m ML [ -1D + x ]0^L = G m ML ( -1D + L + 1D )
Simplificando:
F = G m ML ( 1D - 1D + L )

Passo 8

Finalmente, juntando tudo:
F = G m ML ( 1D - 1D + L )

Resposta

A força gravitacional exercida na massa pontual pela barra é:
F = G m ML ( 1D - 1D + L )

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