Mostre que: O módulo do vetor está relacionado com a excentricidade da forma
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o módulo de um vetor
está relacionado com a excentricidade
de uma forma geométrica através da equação
. Aqui, estamos lidando com geometria analítica, especificamente com as propriedades das elipses. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é excentricidade, o que representa
e como esses elementos se relacionam com o vetor
.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre excentricidade. A excentricidade, denotada por
, é uma medida de quão alongada é uma elipse. Ela varia entre 0 e 1, onde
corresponde a um círculo perfeito e valores próximos a 1 indicam elipses muito alongadas.
Passo 3
Agora, o valor
representa a distância do centro da elipse a cada um dos focos. Em uma elipse, essa distância é constante e está relacionada aos semieixos maior (
) e menor (
) pela relação
.
Passo 4
O vetor
mencionado no exercício está associado à posição do foco em relação ao centro da elipse. O módulo desse vetor,
, é justamente a distância
que mencionamos.
Passo 5
Agora, sabemos que a excentricidade
é definida pela relação
. Podemos rearranjar essa fórmula para encontrar
.
Passo 6
Substituindo
por
na expressão do módulo do vetor, temos:
Mas, se considerarmos que
, e mantemos a representação
, percebemos que há uma consistência nas definições.
Resposta
Assim, demonstramos que o módulo do vetor está relacionado com a excentricidade pela equação
.