Usando o fato de que n^{\frac{1}{n}} \rightarrow 1 e \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \rightarrow e calcule:
\lim \left(1+\frac{2}{n}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite da sequência
L = \lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\frac{2}{n}\Bigr)^{n}.
Estamos trabalhando com limites de sequências do tipo \bigl(1+\tfrac{a}{n}\bigr)^{n}, usando o conhecimento de que \bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr)^{n}\to e.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável m = \tfrac{n}{2}. Então n = 2m e, quando n\to\infty, temos também m\to\infty. Reescrevendo:
\Bigl(1+\frac{2}{n}\Bigr)^{n} = \Bigl(1+\frac{2}{2m}\Bigr)^{2m} = \Bigl(1+\frac{1}{m}\Bigr)^{2m} = \bigl[(1+\tfrac{1}{m})^{m}\bigr]^{2}.

Passo 3

Sabendo que
\lim_{m\to\infty}\bigl(1+\tfrac{1}{m}\bigr)^{m} = e,
temos
L = \lim_{m\to\infty}\bigl[(1+\tfrac{1}{m})^{m}\bigr]^{2} = e^{2}.

Resposta

e^{2}

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