1. Represente geometricamente o conjunto das imagens dos complexos z tais que:
    (a) \frac{|z+1|}{|z-1|} \leq 1;
    (b) \operatorname{Im}(z)>0 e \operatorname{Re}\left(z^{2}\right)>1.

Passo 1

O enunciado pede para descrever geometricamente, no plano complexo, os pontos z que satisfazem duas condições diferentes:
  • (a) \dfrac{|z+1|}{|z-1|}\le1;
  • (b) \operatorname{Im}(z)>0 e \operatorname{Re}(z^2)>1.
    Para isso vamos usar coordenadas z=x+iy, interpretar módulo como distância no plano e a parte real de z^2 em termos de x,y.

Passo 2

Resolvendo (a):
Escrevemos z=x+iy e temos
|z+1|=\sqrt{(x+1)^2+y^2}, \quad |z-1|=\sqrt{(x-1)^2+y^2}.
A desigualdade \dfrac{|z+1|}{|z-1|}\le1 equivale a
\sqrt{(x+1)^2+y^2}\le\sqrt{(x-1)^2+y^2} \;\Longrightarrow\; (x+1)^2+y^2\le(x-1)^2+y^2 \;\Longrightarrow\;x\le0.
Logo, o lugar geométrico é o semiplano fechado \{\,z:\Re(z)\le0\}.

Passo 3

Resolvendo (b):
De novo z=x+iy. A condição \operatorname{Im}(z)>0 vira y>0.
z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy \quad\Longrightarrow\quad \Re(z^2)=x^2-y^2.
Logo \Re(z^2)>1 é
x^2-y^2>1,
que define o conjunto de pontos fora da região interna ao ramo de hipérbole \;x^2-y^2=1\;. Em conjunto com y>0, fica a parte do semiplano superior no qual \;x^2-y^2>1\;.

Resposta

(a) O semiplano fechado \{z\in\mathbb C:\Re(z)\le0\}, à esquerda do eixo imaginário.
(b) A interseção do semiplano superior \{y>0\} com a região externa à hipérbole x^2-y^2=1, isto é,
\{\,x+iy : y>0,\;x^2-y^2>1\}.

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