Usando frações parciais onde for necessário, calcule x(t) para as seguintes expressões:
X(s)=s+4(s+1)^2

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem que calcular a transformada inversa de Laplace de
X(s) = s+4(s+1)^2
Isso faz parte da matéria de transformada de Laplace e, mais especificamente, de como usar frações parciais pra separar uma expressão que a gente consiga “destransformar” direitinho. A gente vai precisar:
  1. Entender que a inversa de Laplace de é .
  2. Saber que a inversa de Laplace de é .
  3. Fazer uma decomposição que caiba nesses dois padrões.

Passo 2

Primeiro, repara que o denominador já é s+4 = (s+1) + 3 . Então a gente consegue separar o numerador em duas partes do tipo “ ” mais algo sobrando:
Isso é legal porque “casa” com o no denominador pra dar uma fração simples, e o 3 fica sobrando.

Passo 3

Então a gente escreve:
s+4(s+1)^2 = (s+1) + 3(s+1)^2 = s+1(s+1)^2 ;+;3(s+1)^2
Agora simplifica a primeira fração:
s+1(s+1)^2 = 1s+1
Logo:
X(s) = 1s+1 ;+;3(s+1)^2

Passo 4

Agora aplica a tabela de transformadas inversas:
  1. L^-1!tfrac3(s+1)^2 = 3,l(t,e^-tr) = 3t,e^-t

  2. Como você tem um 3 multiplicando a segunda fração, fica

Resposta

Juntando tudo, a função no domínio do tempo é
x(t) = e^-t ;+; 3t,e^-t

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