Usando funções elementares conhecidas, escreva a função dada como composição de
funções.
Passo 1
O enunciado pede: escrever a função
como composição de
funções, com
.
Informações dadas: a expressão explícita de .
O que preciso entregar: duas funções elementares e
tais que
, isto é,
.
Informações dadas: a expressão explícita de
O que preciso entregar: duas funções elementares
Passo 2
O que significa “composição de duas funções”? Se temos duas funções
e
, a composição
é a função definida por
Aqui
é a função “interna” (aplicada primeiro) e
é a função “externa” (aplicada sobre o resultado de
). Exemplo simples para fixar a ideia: se
e
, então
Note que eu usei
como variável genérica de entrada de
, para distinguir da variável
de entrada de
.
Passo 3
Olhe para
. A raiz quadrada atua sobre a expressão
. Isso sugere escolher como função interna
justamente a expressão que aparece dentro da raiz. Assim proponho
Explicação simples:
pega
e devolve
, que é o argumento da raiz em
.
Passo 4
Agora a função externa
deve transformar o valor
em
. Então definimos
Aqui
é a entrada de
(ou seja,
). Observe que
é composta por soma e raiz, funções elementares.
Passo 5
Verificação da composição (faça isto na prova para mostrar que deu certo):
Pronto — a composição devolve exatamente
.
Passo 6
Observação sobre domínio (importante em prova): a raiz quadrada
exige argumento não negativo. Como
, precisamos de
, isto é
. Portanto o domínio natural de
(e da composição) é
. A função
está definida para todos os reais, mas a composição fica restrita por
.
Passo 7
Um outro jeito igualmente válido (às vezes mais direto) de separar as duas funções é escolher a interna como a própria raiz e a externa como a soma final:
pois
Também tem domínio
. Escolhi apresentar as duas formas porque ambas usam apenas funções elementares e são compostas por exatamente
funções.
Resposta
ou