Usando funções elementares conhecidas, escreva a função dada como composição de n funções.
f(x)=1+\sqrt{1+x} \quad(n=2)

Passo 1

O enunciado pede: escrever a função f(x)=1+\sqrt{1+x} como composição de n funções, com n=2.
Informações dadas: a expressão explícita de f(x).
O que preciso entregar: duas funções elementares g e h tais que f=g\circ h, isto é, f(x)=g(h(x)).

Passo 2

O que significa “composição de duas funções”? Se temos duas funções h e g, a composição g\circ h é a função definida por
(g\circ h)(x)=g(h(x)).
Aqui h é a função “interna” (aplicada primeiro) e g é a função “externa” (aplicada sobre o resultado de h). Exemplo simples para fixar a ideia: se h(x)=x^2 e g(u)=u+1, então
(g\circ h)(2)=g(h(2))=g(4)=4+1=5.
Note que eu usei u como variável genérica de entrada de g, para distinguir da variável x de entrada de h.

Passo 3

Olhe para f(x)=1+\sqrt{1+x}. A raiz quadrada atua sobre a expressão 1+x. Isso sugere escolher como função interna h(x) justamente a expressão que aparece dentro da raiz. Assim proponho
h(x)=1+x.
Explicação simples: h pega x e devolve 1+x, que é o argumento da raiz em f.

Passo 4

Agora a função externa g deve transformar o valor u=h(x) em 1+\sqrt{u}. Então definimos
g(u)=1+\sqrt{u}.
Aqui u é a entrada de g (ou seja, u=h(x)). Observe que g é composta por soma e raiz, funções elementares.

Passo 5

Verificação da composição (faça isto na prova para mostrar que deu certo):
(g\circ h)(x)=g(h(x))=1+\sqrt{h(x)}=1+\sqrt{1+x}=f(x).
Pronto — a composição devolve exatamente f(x).

Passo 6

Observação sobre domínio (importante em prova): a raiz quadrada \sqrt{\cdot} exige argumento não negativo. Como h(x)=1+x, precisamos de 1+x\ge 0, isto é x\ge -1. Portanto o domínio natural de f (e da composição) é [ -1,\infty). A função h(x)=1+x está definida para todos os reais, mas a composição fica restrita por g.

Passo 7

Um outro jeito igualmente válido (às vezes mais direto) de separar as duas funções é escolher a interna como a própria raiz e a externa como a soma final:
\tilde h(x)=\sqrt{1+x},\qquad \tilde g(u)=1+u,
pois
(\tilde g\circ \tilde h)(x)=\tilde g(\tilde h(x))=1+\sqrt{1+x}=f(x).
Também tem domínio x\ge -1. Escolhi apresentar as duas formas porque ambas usam apenas funções elementares e são compostas por exatamente n=2 funções.

Resposta

h(x)=1+x,\quad g(u)=1+\sqrt{u}
ou
\tilde h(x)=\sqrt{1+x},\quad \tilde g(u)=1+u

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