Seja f a função dada por f(x)=\sqrt{x}. Esboce o gráfico, em cada item, da função h definida abaixo.
h(x)=f(|x|);

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por f(x)=\sqrt{x} e pede que eu esboce o gráfico da função h definida por h(x)=f(|x|).
Informações fornecidas e o que é pedido:
  • Função fornecida: f(x)=\sqrt{x}.
  • Nova função: h(x)=f(|x|).
  • Pedido: esboçar o gráfico de h.
    Pontos dados explicitamente (vindos de f): por exemplo, f(0)=0, f(1)=1, f(4)=2.
    Não há figura adicional enviada. A partir disso preciso mostrar como é o gráfico de h e suas propriedades relevantes para desenhá-lo.

Passo 2

Entendendo bem f(x)=\sqrt{x} (uma pequena “aula” pra gente se sentir seguro):
  • Domínio de f: [0,\infty), porque a raiz quadrada só aceita argumentos não negativos.
  • Imagem de f: [0,\infty).
  • Comportamento: f é crescente para x\ge0, passa por (0,0), (1,1), (4,2). O gráfico é uma curva que cresce lentamente e é côncava para baixo (a derivada diminui conforme x aumenta).
    Exemplo simples: para desenhar a metade direita, plotamos os pontos (0,0), (1,1), (4,2) e fazemos a curva suave da raiz.

Passo 3

Escrevendo h de forma explícita:
h(x)=f(|x|)=\sqrt{|x|}.
Isto é, h(x) é a raiz quadrada do valor absoluto de x. Já temos a forma explícita que facilita análise e desenho.

Passo 4

Domínio e imagem de h:
  • Como |x|\ge0 para todo x\in\mathbb{R}, a expressão \sqrt{|x|} está bem definida para todo x. Logo o domínio de h é (-\infty,\infty).
  • A imagem permanece [0,\infty), porque a raiz só produz valores não negativos.
    Portanto: domínio (-\infty,\infty) e imagem [0,\infty).

Passo 5

Comportamento para x\ge0:
  • Se x\ge0, então |x|=x e
h(x)=\sqrt{|x|}=\sqrt{x},
ou seja, para x\ge0 o gráfico de h coincide exatamente com o gráfico de f. Podemos usar os pontos conhecidos: (0,0), (1,1), (4,2) e a curva crescente côncava para baixo no semieixo x\ge0.

Passo 6

Comportamento para x<0:
  • Se x<0, então |x|=-x e
h(x)=\sqrt{|x|}=\sqrt{-x}.
  • Se escrevemos x=-t com t>0, temos h(-t)=\sqrt{t}. Isso mostra que o valor de h em -t é o mesmo que em t. Por exemplo, h(-1)=\sqrt{1}=1, h(-4)=\sqrt{4}=2.
    Conclusão prática: o ramo do gráfico para x<0 é o espelho do ramo para x>0 em relação ao eixo y.

Passo 7

Simetria e paridade:
  • Verificamos diretamente que
h(-x)=\sqrt{|-x|}=\sqrt{|x|}=h(x),
logo h é uma função par. Em termos de desenho: o gráfico é simétrico em relação ao eixo y. Um jeito rápido de desenhar: desenhe a raiz \sqrt{x} no semieixo positivo e refletir esse ramo no eixo y para obter o semieixo negativo.

Passo 8

Comportamento da inclinação e derivada (uma nota útil para o esboço):
  • Para x>0,
h'(x)=\frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
  • Para x<0,
h'(x)=\frac{d}{dx}\sqrt{-x}=-\frac{1}{2\sqrt{-x}}.
  • Em x=0 a derivada não existe: os limites das derivadas laterais divergem ( h'(x)\to+\infty quando x\to0^+ e h'(x)\to-\infty quando x\to0^-). Na prática isso significa que no ponto x=0 a curva tem uma espécie de “ponta” com tangente vertical (a inclinação cresce muito perto de 0). Não é uma curva suave com derivada finita em 0, então no desenho a partir da origem a curva sobe rapidamente para ambos os lados.

Passo 9

Como esboçar (instruções passo a passo que você pode aplicar na prova):
  1. Desenhe os eixos coordenados e marque alguns pontos: (0,0), (1,1), (4,2) à direita; e também (-1,1), (-4,2) à esquerda (estes últimos obtidos por reflexão).
  2. Desenhe a curva \sqrt{x} para x\ge0 passando por (0,0), (1,1), (4,2) — curva crescente, ficando mais “lenta” conforme x aumenta (côncava para baixo).
  3. Reflita essa curva em relação ao eixo y para obter o ramo para x\le0.
  4. Observe que as duas partes se encontram em (0,0) e que a subida é abrupta perto de 0 (tangente vertical aproximada).
    Pronto — esse é o esboço: dois ramos simétricos unidos em (0,0), ambos com formato de raiz quadrada.

Passo 10

Resumo didático-final (para fixar):
  • Fórmula explícita: h(x)=\sqrt{|x|}.
  • Domínio: (-\infty,\infty).
  • Imagem: [0,\infty).
  • Gráfico: ramo de \sqrt{x} para x\ge0 e seu espelho em relação ao eixo y para x\le0. Função par. Ponto central (0,0). Pontos notáveis (\pm1,1), (\pm4,2).
  • Dica rápida na prova: desenhe a curva de \sqrt{x} no lado direito e copie espelhando no eixo y.

Resposta

O gráfico de h(x)=\sqrt{|x|} é formado pelo ramo de y=\sqrt{x} para x\ge0 e pelo seu espelho simétrico em relação ao eixo y para x\le0; domínio (-\infty,\infty); imagem [0,\infty); pontos notáveis (0,0), (\pm1,1), (\pm4,2).

Exercícios relacionados