Seja
a função dada por
. Esboce o gráfico, em cada item, da função
definida abaixo.
;
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede que eu esboce o gráfico da função
definida por
.
Informações fornecidas e o que é pedido:
Informações fornecidas e o que é pedido:
- Função fornecida:
. - Nova função:
. - Pedido: esboçar o gráfico de
.
Pontos dados explicitamente (vindos de): por exemplo, , , .
Não há figura adicional enviada. A partir disso preciso mostrar como é o gráfico dee suas propriedades relevantes para desenhá-lo.
Passo 2
Entendendo bem
(uma pequena “aula” pra gente se sentir seguro):
- Domínio de
: , porque a raiz quadrada só aceita argumentos não negativos. - Imagem de
: . - Comportamento:
é crescente para , passa por , , . O gráfico é uma curva que cresce lentamente e é côncava para baixo (a derivada diminui conforme aumenta).
Exemplo simples: para desenhar a metade direita, plotamos os pontos, , e fazemos a curva suave da raiz.
Passo 3
Escrevendo
de forma explícita:
Isto é,
é a raiz quadrada do valor absoluto de
. Já temos a forma explícita que facilita análise e desenho.
Passo 4
Domínio e imagem de
:
- Como
para todo , a expressão está bem definida para todo . Logo o domínio de é . - A imagem permanece
, porque a raiz só produz valores não negativos.
Portanto: domínioe imagem .
Passo 5
Comportamento para
:
- Se
, então e
ou seja, para
o gráfico de
coincide exatamente com o gráfico de
. Podemos usar os pontos conhecidos:
,
,
e a curva crescente côncava para baixo no semieixo
.
Passo 6
Comportamento para
:
- Se
, então e
- Se escrevemos
com , temos . Isso mostra que o valor de em é o mesmo que em . Por exemplo, , .
Conclusão prática: o ramo do gráfico paraé o espelho do ramo para em relação ao eixo .
Passo 7
Simetria e paridade:
- Verificamos diretamente que
logo
é uma função par. Em termos de desenho: o gráfico é simétrico em relação ao eixo
. Um jeito rápido de desenhar: desenhe a raiz
no semieixo positivo e refletir esse ramo no eixo
para obter o semieixo negativo.
Passo 8
Comportamento da inclinação e derivada (uma nota útil para o esboço):
- Para
,
- Para
,
- Em
a derivada não existe: os limites das derivadas laterais divergem ( quando e quando ). Na prática isso significa que no ponto a curva tem uma espécie de “ponta” com tangente vertical (a inclinação cresce muito perto de 0). Não é uma curva suave com derivada finita em 0, então no desenho a partir da origem a curva sobe rapidamente para ambos os lados.
Passo 9
Como esboçar (instruções passo a passo que você pode aplicar na prova):
- Desenhe os eixos coordenados e marque alguns pontos:
, , à direita; e também , à esquerda (estes últimos obtidos por reflexão). - Desenhe a curva
para passando por , , — curva crescente, ficando mais “lenta” conforme aumenta (côncava para baixo). - Reflita essa curva em relação ao eixo
para obter o ramo para . - Observe que as duas partes se encontram em
e que a subida é abrupta perto de (tangente vertical aproximada).
Pronto — esse é o esboço: dois ramos simétricos unidos em, ambos com formato de raiz quadrada.
Passo 10
Resumo didático-final (para fixar):
- Fórmula explícita:
. - Domínio:
. - Imagem:
. - Gráfico: ramo de
para e seu espelho em relação ao eixo para . Função par. Ponto central . Pontos notáveis , . - Dica rápida na prova: desenhe a curva de
no lado direito e copie espelhando no eixo .
Resposta
O gráfico de
é formado pelo ramo de
para
e pelo seu espelho simétrico em relação ao eixo
para
; domínio
; imagem
; pontos notáveis
,
,
.