Seja f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} uma função. Dê uma interpretação geométrica para o quociente \frac{f(x)-f(a)}{x-a}, x \in(a, b].

Passo 1

O enunciado dá uma função f:[a,b]\to\mathbb{R} e nos pede uma interpretação geométrica do quociente
\frac{f(x)-f(a)}{x-a},\qquad x\in(a,b].
Informações fornecidas:
\,f está definida no intervalo fechado [a,b].
Há dois pontos considerados na função: o ponto em x=a com ordenada f(a) e o ponto em x com ordenada f(x), para x à direita de a.
Pergunta: explicar geometricamente o que representa esse quociente.

Passo 2

Recordando a definição geométrica de declive (coeficiente angular) entre dois pontos: dados dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) num plano cartesiano, o declive da reta que os liga (a secante) é
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
Aqui aplicamos isso aos pontos (a,f(a)) e (x,f(x)). Substituindo (x_1,y_1)=(a,f(a)) e (x_2,y_2)=(x,f(x)) obtemos exatamente
m=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.
Conclusão imediata: o quociente é o coeficiente angular da reta secante que une (a,f(a)) e (x,f(x)).

Passo 3

Expliquei a forma; agora a interpretação intuitiva: geometricamente esse número mede o "subir por unidade de avanço em x":
  • “Rise” (variação vertical) é f(x)-f(a).
  • “Run” (variação horizontal) é x-a.
    Logo o quociente é “rise over run”, isto é, quanta altura (em média) a função ganhou para cada unidade que avançamos em x ao ir de a até x.
    Consequências práticas:
  • Se \frac{f(x)-f(a)}{x-a}>0 a secante sobe da esquerda para a direita (função está, em média, aumentando entre a e x).
  • Se \frac{f(x)-f(a)}{x-a}<0 a secante desce (variação média negativa).
  • Se \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=0 a secante é horizontal (nenhuma variação média).

Passo 4

Mostro também a equação da secante: sendo
m=\frac{f(x)-f(a)}{x-a},
a reta secante que passa por (a,f(a)) e (x,f(x)) pode ser escrita como função afim em t:
\ell(t)=f(a)+m\,(t-a).
Verificações fáceis: \ell(a)=f(a) e \ell(x)=f(a)+m(x-a)=f(x). Ou seja, \ell é exatamente a reta que liga os dois pontos — o quociente é o número que determina sua inclinação.

Passo 5

Interpretação como taxa média de variação: o quociente representa a taxa média de variação de f no intervalo [a,x]. Em palavras: é a variação média de f por unidade de x entre a e x. Isso é útil em problemas onde queremos saber “em média quanto a função mudou” sem conhecer o comportamento ponto a ponto.

Passo 6

Exemplo concreto para fixar (faça no papel igualzinho): tome f(t)=t^2 e a=1. Então
\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\frac{x^2-1^2}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1,\qquad x\ne1.
Para x=3 esse quociente vale 3+1=4. Geometricamente: a secante entre (1,1) e (3,9) tem inclinação 4; a função t^2 aumentou, em média, 4 unidades em y para cada unidade em x no trecho de 1 a 3. Observação extra: ao fazer x\to1 obtemos x+1\to2, que é a inclinação da tangente em 1 (a derivada f'(1)=2). Isso conecta secantes e tangente quando f é diferenciável.

Passo 7

Intuição visual e dica para prova: desenhe o gráfico de f, marque os pontos (a,f(a)) e (x,f(x)), trace a reta que os une — essa é a secante. O quociente é simplesmente o declive dessa reta. Se a prova pedir limite desse quociente quando x\to a^+, pense na secante “giratando” até coincidir com a tangente em a (se f for diferenciável, o limite é f'(a)).
Força aí: quando vir \frac{f(x)-f(a)}{x-a} pense imediatamente “secante = declive = taxa média”.

Resposta

É o coeficiente angular da secante que liga os pontos (a,f(a)) e (x,f(x)); geometricamente representa a variação média (taxa média de variação) de f no intervalo [a,x].

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