Usando indução, prove que, para todo
:
h) Para todo
, temos
h) Para todo
Passo 1
O enunciado pede que se prove, usando indução, a desigualdade para todo
:
Informações dadas e o que se deseja mostrar:
- A variável
é um número real estritamente positivo: . - A variável
é um inteiro natural: . - Objetivo: mostrar que a potência
é estritamente maior que a expressão linear .
Observação importante (apenas para ficar claro o caso limite): para
temos
, ou seja, igualdade e não desigualdade estrita. Portanto, a desigualdade estrita só pode valer a partir de
. Vou partir dessa observação e provar, por indução, que para todo
a desigualdade é verdadeira (mostrando também como o passo inicial cobre
).
Passo 2
Breve explicação do método de indução que vou usar (passo a passo, bem didático):
- Indução matemática típica tem duas partes:
- Base da indução: verificar que a proposição é verdadeira para um primeiro valor
(aqui ou ). - Passo indutivo: assumir que a proposição é verdadeira para um certo
(hipótese de indução) e então provar que ela é verdadeira para .
- Base da indução: verificar que a proposição é verdadeira para um primeiro valor
- Se ambas as partes são feitas corretamente, conclui-se que a proposição vale para todos os inteiros naturais a partir da base escolhida.
Vou usar essa ideia: mostrar a base (verificandoe observando que a partir de o passo indutivo dá desigualdade estrita para ), e depois provar o passo indutivo que transforma uma desigualdade do tipo em uma estrita quando .
Passo 3
Base da indução:
- Para
temos
Portanto para
ocorre igualdade, isto é,
. Como já observado, a desigualdade estrita não se verifica em
, mas essa igualdade será útil para iniciar a indução e obter a desigualdade estrita para
no passo a seguir.
Passo 4
Enunciando a hipótese de indução:
- Suponha que para algum inteiro
valha a desigualdade (ou, no caso , a desigualdade fraca)
Aqui estou admitindo a forma
na hipótese porque, como visto, para
há igualdade; a prova abaixo mostrará que a partir disso obtemos uma desigualdade estrita para
sempre que
.
Passo 5
Passo indutivo: provar que a hipótese para
implica a desigualdade estrita para
.
- Multiplicando ambos os lados da hipótese por
, que é porque , obtemos
- Agora expandimos o lado direito (fazendo conta passo a passo):
Colocando isso de forma limpa:
- Reagrupando termos:
- Como
e , o termo é estritamente positivo:
- Portanto
- Juntando com a desigualdade anterior obtemos
Assim concluímos que
Ou seja, a partir da hipótese (mesmo que só
) obtém-se a desigualdade estrita para
.
Passo 6
Conclusão por indução:
- Começando em
(onde tínhamos igualdade), o passo indutivo dá a desigualdade estrita para . - Uma vez que a desigualdade estrita vale para
, aplicar novamente o passo indutivo (agora com hipótese estrita ou fraca — a argumentação acima só usou ) leva a estrita para , e assim por diante. - Portanto, por indução, para todo inteiro
vale
sempre que
. Para
há igualdade
.
Passo 7
Exemplo numérico (para fixar a ideia):
- Tome
. Então
e
de fato
.
- Para
,
e
novamente
. Esses cálculos ilustram a desigualdade.
Resposta
Para todo
e todo
com
vale
Para
tem-se igualdade:
.