Usando indução, prove que, para todo n \in \mathbb{N} :
h) Para todo a>0, temos (1+a)^{n}>1+a \cdot n

Passo 1

O enunciado pede que se prove, usando indução, a desigualdade para todo n\in\mathbb{N}:
\text{Para todo } a>0,\quad (1+a)^{n} > 1 + a\cdot n.
Informações dadas e o que se deseja mostrar:
  • A variável a é um número real estritamente positivo: a>0.
  • A variável n é um inteiro natural: n\in\mathbb{N}.
  • Objetivo: mostrar que a potência (1+a)^{n} é estritamente maior que a expressão linear 1+an.
Observação importante (apenas para ficar claro o caso limite): para n=1 temos (1+a)^1=1+a, ou seja, igualdade e não desigualdade estrita. Portanto, a desigualdade estrita só pode valer a partir de n\ge 2. Vou partir dessa observação e provar, por indução, que para todo n\ge 2 a desigualdade é verdadeira (mostrando também como o passo inicial cobre n=2).

Passo 2

Breve explicação do método de indução que vou usar (passo a passo, bem didático):
  • Indução matemática típica tem duas partes:
    1. Base da indução: verificar que a proposição é verdadeira para um primeiro valor n_0 (aqui n_0=1 ou n_0=2).
    2. Passo indutivo: assumir que a proposição é verdadeira para um certo k (hipótese de indução) e então provar que ela é verdadeira para k+1.
  • Se ambas as partes são feitas corretamente, conclui-se que a proposição vale para todos os inteiros naturais a partir da base escolhida.
    Vou usar essa ideia: mostrar a base (verificando n=1 e observando que a partir de n=1 o passo indutivo dá desigualdade estrita para n=2), e depois provar o passo indutivo que transforma uma desigualdade do tipo \ge em uma estrita > quando a>0.

Passo 3

Base da indução:
  • Para n=1 temos
(1+a)^1 = 1+a = 1 + a\cdot 1.
Portanto para n=1 ocorre igualdade, isto é, (1+a)^1 = 1+ a. Como já observado, a desigualdade estrita não se verifica em n=1, mas essa igualdade será útil para iniciar a indução e obter a desigualdade estrita para n=2 no passo a seguir.

Passo 4

Enunciando a hipótese de indução:
  • Suponha que para algum inteiro k\ge 1 valha a desigualdade (ou, no caso k=1, a desigualdade fraca)
(1+a)^{k} \ge 1 + a\cdot k.
Aqui estou admitindo a forma \ge na hipótese porque, como visto, para k=1 há igualdade; a prova abaixo mostrará que a partir disso obtemos uma desigualdade estrita para k+1 sempre que a>0.

Passo 5

Passo indutivo: provar que a hipótese para k implica a desigualdade estrita para k+1.
  • Multiplicando ambos os lados da hipótese por (1+a), que é >1 porque a>0, obtemos
(1+a)^{k+1} = (1+a)^{k}\,(1+a) \ge (1 + a k)\,(1+a).
  • Agora expandimos o lado direito (fazendo conta passo a passo):
(1 + a k)\,(1+a) = 1\cdot 1 + 1\cdot a + a k\cdot 1 + a k\cdot a.
Colocando isso de forma limpa:
(1 + a k)\,(1+a) = 1 + a + a k + a^{2}k.
  • Reagrupando termos:
1 + a + a k + a^{2}k = 1 + a\,(k+1) + a^{2}k.
  • Como a>0 e k\ge 1, o termo a^{2}k é estritamente positivo:
a^{2}k > 0.
  • Portanto
(1 + a k)\,(1+a) = 1 + a\,(k+1) + a^{2}k > 1 + a\,(k+1).
  • Juntando com a desigualdade anterior obtemos
(1+a)^{k+1} \ge (1 + a k)(1+a) > 1 + a\,(k+1).
Assim concluímos que
(1+a)^{k+1} > 1 + a\,(k+1).
Ou seja, a partir da hipótese (mesmo que só \ge) obtém-se a desigualdade estrita para k+1.

Passo 6

Conclusão por indução:
  • Começando em k=1 (onde tínhamos igualdade), o passo indutivo dá a desigualdade estrita para k+1=2.
  • Uma vez que a desigualdade estrita vale para n=2, aplicar novamente o passo indutivo (agora com hipótese estrita ou fraca — a argumentação acima só usou \ge) leva a estrita para n=3, e assim por diante.
  • Portanto, por indução, para todo inteiro n\ge 2 vale
(1+a)^{n} > 1 + a\cdot n,
sempre que a>0. Para n=1 há igualdade (1+a)^1 = 1+a.

Passo 7

Exemplo numérico (para fixar a ideia):
  • Tome a=0,5. Então
(1+0,5)^2 = 1{,}5^2 = 2{,}25
e
1 + 0,5\cdot 2 = 1 + 1 = 2,
de fato 2{,}25 > 2.
  • Para n=3,
(1+0,5)^3 = 1{,}5^3 = 3{,}375
e
1 + 0,5\cdot 3 = 1 + 1{,}5 = 2{,}5,
novamente 3{,}375 > 2{,}5. Esses cálculos ilustram a desigualdade.

Resposta

Para todo a>0 e todo n\in\mathbb{N} com n\ge 2 vale
(1+a)^{n} > 1 + a\cdot n.
Para n=1 tem-se igualdade: (1+a)^1 = 1 + a.

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