Se
é tal que
para algum
, use o Princípio da Boa Ordem dos
para definir uma bijeção de
sobre algum
.
Passo 1
O enunciado dá que
e que existe
tal que
. Vou tomar a convenção usual
O que se pede: construir, usando o Princípio da Boa Ordem dos
, uma bijeção de
sobre algum
com
. Em outras palavras, mostrar que existe
(o número de elementos de
) e dar uma bijeção explícita
.
Passo 2
Primeiro caso fácil:
. Nesse caso toma-se
e convém definir
. A função vazia
é bijetora (trivialmente injetiva e sobrejetiva). Assim o enunciado está satisfeito quando
.
Passo 3
Agora suponho
. Pelo Princípio da Boa Ordem dos
toda subconjunto não vazio de
tem um menor elemento. Como
e
, existe
Defino
. Se
parei; caso contrário, aplico novamente o Princípio da Boa Ordem a
para obter
Repetindo o procedimento (remove-se o menor elemento obtido e, se o restante não é vazio, toma-se seu mínimo) obtém-se uma sequência de elementos distintos
porque em cada passo se tira o menor elemento remanescente.
Passo 4
É preciso mostrar que esse processo termina em número finito de passos. Como
, não pode haver mais que
elementos em
. Portanto o procedimento de remover mínimos produz uma seqüência finita
para algum
, tal que
Ou seja,
foi enumerado em ordem crescente e
é exatamente o número de elementos de
, isto é
.
Passo 5
Com a enumeração ordenada em mãos, defino a função
por
Agora verifico que
é bijetora:
- Injetividade: se
então , logo . Assim é injetiva. - Sobrejetividade: para qualquer
existe e . Logo é sobrejetiva.
Portanto
é bijeção entre
e
.
Passo 6
Resumo final do procedimento (para usar na prova): se
tomar
e a bijeção é a função vazia
. Se
, usar o Princípio da Boa Ordem para extrair sucessivamente os mínimos e obter a enumeração
de
; então definir
. Essa
é bijetora e
.
Resposta
Se
então
e a bijeção é a função vazia
.
Se
, seja
a enumeração crescente de
obtida aplicando sucessivamente o Princípio da Boa Ordem; então a bijeção é