Usando indução, prove que, para todo n \in \mathbb{N} :
g) Para todo a>0, temos \log a^{n}=n \cdot \log a

Passo 1

O enunciado dá que a>0 e pede para provar, para todo n\in\mathbb{N}, a igualdade
\log a^{n}=n\cdot\log a.
Informações relevantes: a é um número real positivo; n é um número natural (isto é, um inteiro não negativo, dependendo da convenção da turma); \log é a função logarítmica (em qualquer base fixa b>0,\\ b\neq1). O objetivo é mostrar que elevar a a n e depois tirar o log é o mesmo que multiplicar o log de a por n.

Passo 2

Antes de usar indução, vamos recordar e demonstrar um fato básico e muito útil sobre logaritmos: a propriedade multiplicativa
\log(xy)=\log x+\log y
para quaisquer x>0 e y>0. Explicação (mini-aula): a função logarítmica é definida como a função inversa da exponencial de base b (com b>0, b\neq1). Ou seja, para u\in\mathbb{R} vale b^{u} e a definição de log é: \log_b x = u se, e somente se, b^{u}=x. Agora, se \log_b x = u e \log_b y = v, então b^{u}=x e b^{v}=y. Multiplicando essas igualdades obtemos
b^{u}b^{v}=xy.
Pela regra dos expoentes, b^{u}b^{v}=b^{u+v}, logo b^{u+v}=xy. Aplicando a definição de logaritmo, isso significa que \log_b(xy)=u+v. Mas u=\log_b x e v=\log_b y, então
\log_b(xy)=\log_b x+\log_b y.
Essa demonstração é curta e usa apenas a definição de log como inversa da exponencial e a regra b^{u}b^{v}=b^{u+v}.

Passo 3

Estabelecer a base da indução. Vamos provar a propriedade por indução sobre n.
Primeiro, caso n=0 (se a sua turma considera 0\in\mathbb{N}): como a>0 tem-se a^{0}=1. Sabe-se também que \log 1=0. Portanto
\log a^{0}=\log 1=0=0\cdot\log a.
Logo a propriedade é verdadeira para n=0.
Agora, caso a sua turma use a convenção \mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}, verificamos a base n=1: claramente
\log a^{1}=\log a=1\cdot\log a,
logo funciona para n=1.
(Escolha a base que corresponda à sua definição de \mathbb{N}; ambas verificações são rápidas.)

Passo 4

Hipótese de indução. Suponha que para algum k\in\mathbb{N} a propriedade já seja verdadeira, isto é, suponha
\log a^{k}=k\cdot\log a.
Isto é a nossa hipótese de indução.

Passo 5

Passo indutivo: provar que a propriedade vale para n=k+1. Começamos escrevendo a^{k+1}=a^{k}\cdot a. Aplicando o logaritmo ao produto e usando a propriedade multiplicativa do Passo 2, obtemos
\log a^{k+1}=\log\bigl(a^{k}\cdot a\bigr)=\log a^{k}+\log a.
Agora usamos a hipótese de indução \log a^{k}=k\cdot\log a para substituir:
\log a^{k+1}=k\cdot\log a+\log a=(k+1)\cdot\log a.
Isso mostra que, se a propriedade vale para k, então vale para k+1.

Passo 6

Conclusão pela indução matemática. Como a propriedade foi verificada na base (Passo 3) e mostramos que a validade para k implica validade para k+1 (Passo 5), segue-se por princípio de indução que, para todo n\in\mathbb{N},
\log a^{n}=n\cdot\log a.

Passo 7

Exemplo numérico para fixar a ideia: tome a=2 e n=3. Então 2^{3}=8 e
\log 2^{3}=\log 8.
Pelo resultado, isso deve ser igual a 3\log 2. Se usar logaritmo na base 2, por exemplo, \log_{2}8=3 e \log_{2}2=1, de modo que \log_{2}8=3\cdot\log_{2}2 confere. Em base 10, numericamente \log_{10}8\approx0{,}90309 e 3\log_{10}2\approx3\cdot0{,}30103=0{,}90309, também confere.

Passo 8

Comentário final encorajador: a prova por indução é curtinha e elegante — a peça-chave foi a propriedade \log(xy)=\log x+\log y, que vem direto da definição inversa do logaritmo. Se ficar com dúvida sobre algum passo, podemos repetir com mais exemplos; você está indo bem!

Resposta

\log a^{n}=n\cdot\log a

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