Usando indução, prove que, para todo
:
g) Para todo
, temos
g) Para todo
Passo 1
O enunciado dá que
e pede para provar, para todo
, a igualdade
Informações relevantes:
é um número real positivo;
é um número natural (isto é, um inteiro não negativo, dependendo da convenção da turma);
é a função logarítmica (em qualquer base fixa
). O objetivo é mostrar que elevar
a
e depois tirar o log é o mesmo que multiplicar o log de
por
.
Passo 2
Antes de usar indução, vamos recordar e demonstrar um fato básico e muito útil sobre logaritmos: a propriedade multiplicativa
para quaisquer
e
. Explicação (mini-aula): a função logarítmica é definida como a função inversa da exponencial de base
(com
,
). Ou seja, para
vale
e a definição de log é:
se, e somente se,
. Agora, se
e
, então
e
. Multiplicando essas igualdades obtemos
Pela regra dos expoentes,
, logo
. Aplicando a definição de logaritmo, isso significa que
. Mas
e
, então
Essa demonstração é curta e usa apenas a definição de log como inversa da exponencial e a regra
.
Passo 3
Estabelecer a base da indução. Vamos provar a propriedade por indução sobre
.
Primeiro, caso (se a sua turma considera
): como
tem-se
. Sabe-se também que
. Portanto
Primeiro, caso
Logo a propriedade é verdadeira para
.
Agora, caso a sua turma use a convenção
, verificamos a base
: claramente
logo funciona para
.
(Escolha a base que corresponda à sua definição de
; ambas verificações são rápidas.)
Passo 4
Hipótese de indução. Suponha que para algum
a propriedade já seja verdadeira, isto é, suponha
Isto é a nossa hipótese de indução.
Passo 5
Passo indutivo: provar que a propriedade vale para
. Começamos escrevendo
. Aplicando o logaritmo ao produto e usando a propriedade multiplicativa do Passo 2, obtemos
Agora usamos a hipótese de indução
para substituir:
Isso mostra que, se a propriedade vale para
, então vale para
.
Passo 6
Conclusão pela indução matemática. Como a propriedade foi verificada na base (Passo 3) e mostramos que a validade para
implica validade para
(Passo 5), segue-se por princípio de indução que, para todo
,
Passo 7
Exemplo numérico para fixar a ideia: tome
e
. Então
e
Pelo resultado, isso deve ser igual a
. Se usar logaritmo na base
, por exemplo,
e
, de modo que
confere. Em base
, numericamente
e
, também confere.
Passo 8
Comentário final encorajador: a prova por indução é curtinha e elegante — a peça-chave foi a propriedade
, que vem direto da definição inversa do logaritmo. Se ficar com dúvida sobre algum passo, podemos repetir com mais exemplos; você está indo bem!