1. Usando integração parcial direta determine uma solução geral para a E D P. Em seguida, resolva o problema de valores de contorno nos seguintes casos
    (a)
\begin{gathered} u_{x y}=-1, \quad(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \\\ u(1, y)=y-\frac{1}{2}-\frac{y^{3}}{3}, \quad y \in \mathbb{R} \end{gathered}

Passo 1

O enunciado dá a EDP
u_{xy}=-1,\quad (x,y)\in\mathbb{R}^2
e a condição de contorno
u(1,y)=y-\tfrac{1}{2}-\tfrac{y^3}{3}.
O conteúdo é resolver uma EDP de segunda ordem mista por integração parcial direta e ajustar as funções arbitrárias usando o contorno.

Passo 2

Integrando em relação a x a igualdade u_{xy}=-1, tratamos y como constante e obtemos
u_y=\int u_{xy}\,dx=\int(-1)\,dx=-x+A(y),
onde A(y) é uma função arbitrária de y.

Passo 3

Agora integramos u_y em relação a y:
u(x,y)=\int u_y\,dy =\int\bigl(-x+A(y)\bigr)\,dy =-x\,y+\int A(y)\,dy+G(x),
em que G(x) é outra função arbitrária (de x) e definimos
H(y)=\int A(y)\,dy,
ficando
u(x,y)=-x\,y+H(y)+G(x).

Passo 4

Impondo o contorno x=1,
u(1,y)=-1\cdot y+H(y)+G(1) =-y+H(y)+G(1) \stackrel!=y-\tfrac12-\tfrac{y^3}{3}.
Logo
H(y)=y-\tfrac12-\tfrac{y^3}{3}+y-G(1) =2y-\tfrac{y^3}{3}-\tfrac12 -G(1).
Podemos escolher G tal que G(1)=0, de modo que
H(y)=2y-\tfrac{y^3}{3}-\tfrac12 \quad\text{e}\quad G(x)\equiv 0.
Substituindo em u(x,y)=-xy+H(y)+G(x), vem

Resposta

u(x,y)=-x\,y+2y-\tfrac{y^3}{3}-\tfrac12.

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