- Se
é uma função de uma variável diferenciável, mostre que
é solução a solução geral da EDP
Em seguida, determine a solução do
Passo 1
O enunciado trata de uma EDP de primeira ordem homogênea
e pede (a) mostrar que a solução geral é dada por uma função de combinação linear das variáveis
Para isso vamos usar o método das características, que consiste em transformar a EDP num sistema de EDOs cujas integrais descrevem as curvas ao longo das quais (u] é constante.
Passo 2
Escrevemos as equações das características pela igualdade dos quocientes:
Interpretamos:
-
dá a relação entre e . -
indica que é constante ao longo de cada característica.
Passo 3
Integramos a primeira fração para achar a invariante:
onde
é constante ao longo de cada característica.
Passo 4
Como
, concluímos que
permanece constante quando
é constante. Logo a solução geral é
onde
é uma função arbitrária diferenciável de uma variável.
Passo 5
Impondo a condição inicial
, temos
Portanto
e a solução do PVC é