1. Se F é uma função de uma variável diferenciável, mostre que u(x, y)=F(y-3 x) é solução a solução geral da EDP
u_{x}-3 u_{y}=0
Em seguida, determine a solução do P V C
\begin{aligned} u_{x}-3 u_{y} & =0 \\\ u(0, y) & =4 \operatorname{sen}(y) \end{aligned}

Passo 1

O enunciado trata de uma EDP de primeira ordem homogênea
u_x - 3\,u_y = 0
e pede (a) mostrar que a solução geral é dada por uma função de combinação linear das variáveis x,y\), e (b) resolver o problema de valor inicial \[\begin{cases} u_x - 3\,u_y = 0,\\\ u(0,y)=4\sin(y). \end{cases}
Para isso vamos usar o método das características, que consiste em transformar a EDP num sistema de EDOs cujas integrais descrevem as curvas ao longo das quais (u] é constante.

Passo 2

Escrevemos as equações das características pela igualdade dos quocientes:
\frac{dx}{1} \;=\;\frac{dy}{-3}\;=\;\frac{du}{0}.
Interpretamos:
  • \displaystyle\frac{dx}{1} = \frac{dy}{-3} dá a relação entre x e y.
  • \displaystyle\frac{du}{0}=0 indica que u é constante ao longo de cada característica.

Passo 3

Integramos a primeira fração para achar a invariante:
\frac{dy}{dx} = -3 \quad\Longrightarrow\quad \int dy = -3\int dx \quad\Longrightarrow\quad y + 3x = C,
onde C é constante ao longo de cada característica.

Passo 4

Como \tfrac{du}{0}=0, concluímos que u permanece constante quando y+3x é constante. Logo a solução geral é
u(x,y) = F\bigl(y + 3x\bigr),
onde F é uma função arbitrária diferenciável de uma variável.

Passo 5

Impondo a condição inicial u(0,y)=4\sin(y), temos
u(0,y) = F\bigl(y+3\cdot 0\bigr) = F(y) = 4\sin(y).
Portanto F(s)=4\sin(s) e a solução do PVC é
u(x,y) = 4\sin\bigl(y+3x\bigr).

Resposta

u(x,y) = 4\sin\bigl(y+3x\bigr).

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