Usando integração por partes, calcular a integral indefinida:
\int x^{2} \operatorname{sen} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x^{2}\sin x\,dx
O conteúdo principal é integração por partes, cuja fórmula é
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.
Como o integrando é produto de um polinômio por função trigonométrica, vamos aplicar integração por partes duas vezes.

Passo 2

Escolhemos
u = x^{2},\quad dv = \sin x\,dx.
Então
du = 2x\,dx,\quad v = -\cos x.
Pela fórmula,
\int x^{2}\sin x\,dx = u\,v - \int v\,du = -x^{2}\cos x - \int\bigl(-\cos x\bigr)\,2x\,dx = -x^{2}\cos x + 2\int x\cos x\,dx.

Passo 3

Agora calculamos \int x\cos x\,dx por partes de novo. Seja
u_{1} = x,\quad dv_{1} = \cos x\,dx,
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du_{1} = dx,\quad v_{1} = \sin x.
Então
\int x\cos x\,dx = u_{1}v_{1} - \int v_{1}\,du_{1} = x\sin x - \int \sin x\,dx = x\sin x + \cos x.
Multiplicando por 2, obtemos
2\int x\cos x\,dx = 2x\sin x + 2\cos x.

Passo 4

Substituindo no resultado do passo anterior,
\int x^{2}\sin x\,dx = -x^{2}\cos x + \bigl(2x\sin x + 2\cos x\bigr) + C.

Resposta

\boxed{-x^{2}\cos x + 2x\sin x + 2\cos x + C}.

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