Dada f(x)=\frac{1}{1-x}, calcule o coeficiente do termo que contém a quarta potência no polinômio de Taylor centrado em x=-2 de f.

Passo 1

O enunciado pede o coeficiente do termo em (x+2)^{4} na série de Taylor de f(x)=\frac{1}{1-x} centrada em x=-2. Vamos usar a ideia de escrever f(x) como uma série geométrica em potências de (x+2).

Passo 2

Reescrevemos o denominador de f em termos de (x+2):
1 - x = 1 - \bigl(-2 + (x+2)\bigr) = 3 - (x+2).
Logo,
f(x) = \frac{1}{1-x} = \frac{1}{3 - (x+2)}.

Passo 3

Colocamos em forma de série geométrica. Fatoramos 3:
f(x) = \frac{1}{3}\,\frac{1}{1 - \frac{x+2}{3}}.
Aqui, definimos u = \frac{x+2}{3}, de modo que |u|<1 garante convergência.

Passo 4

Aplicamos a expansão
\frac{1}{1 - u} = \sum_{n=0}^{\infty} u^{n}.
Assim,
f(x) = \frac{1}{3} \sum_{n=0}^{\infty} \biggl(\frac{x+2}{3}\biggr)^{n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+2)^{n}}{3^{\,n+1}}.

Passo 5

Na série \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+2)^{n}}{3^{\,n+1}}, o coeficiente do termo (x+2)^{4} é
\frac{1}{3^{\,4+1}} = \frac{1}{3^{5}} = \frac{1}{243}.

Resposta

O coeficiente do termo que contém (x+2)^{4} é \displaystyle \tfrac{1}{243}.

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