Calcule o wronskiano das funções f_{1}(x)=\mathrm{e}^{x}, f_{2}(x)=\mathrm{e}^{-x} e f_{3}(x)=-\mathrm{e}^{x}. A partir do resultado, informe se as funções são linearmente dependentes ou independentes.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o Wronskiano das funções
\displaystyle f_{1}(x)=e^{x}, \displaystyle f_{2}(x)=e^{-x} e \displaystyle f_{3}(x)=-e^{x}
e, a partir desse cálculo, decidir se elas são linearmente independentes ou dependentes. Para isso vamos usar a definição de Wronskiano de três funções e o critério de que, se o Wronskiano é identicamente zero num intervalo, então as funções são linearmente dependentes nesse intervalo.

Passo 2

Calculamos as derivadas de primeira e segunda ordem de cada função:
Para \displaystyle f_{1}(x)=e^{x}:
\displaystyle f_{1}'(x)=e^{x}, \displaystyle f_{1}''(x)=e^{x}.
Para \displaystyle f_{2}(x)=e^{-x}:
\displaystyle f_{2}'(x)=-e^{-x}, \displaystyle f_{2}''(x)=e^{-x}.
Para \displaystyle f_{3}(x)=-e^{x}:
\displaystyle f_{3}'(x)=-e^{x}, \displaystyle f_{3}''(x)=-e^{x}.

Passo 3

Montamos o Wronskiano W(x) como o determinante da matriz cujas colunas são as funções e suas derivadas:
W(x)= \begin{vmatrix} e^{x} & e^{-x} & -e^{x} \\[6pt] e^{x} & -e^{-x} & -e^{x} \\[6pt] e^{x} & e^{-x} & -e^{x} \end{vmatrix}.]

Passo 4

Note que a primeira linha e a terceira linha dessa matriz são idênticas:
(e^{x},\,e^{-x},\,-e^{x}) = (e^{x},\,e^{-x},\,-e^{x}),
portanto o determinante é zero para todo x:
W(x)=0.
Como o Wronskiano é identicamente zero, as funções são linearmente dependentes.

Resposta

O Wronskiano é W(x)=0 para todo x. Portanto, as funções são linearmente dependentes.

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