Calcule o wronskiano das funções f_{1}(x)=\mathrm{e}^{x}, f_{2}(x)=\mathrm{e}^{-x} e f_{3}(x)=-\mathrm{e}^{x}. A partir do resultado, informe se as funções são linearmente dependentes ou independentes.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o Wronskiano das funções \displaystyle f_{1}(x)=e^{x}, \displaystyle f_{2}(x)=e^{-x} e \displaystyle f_{3}(x)=-e^{x}
e, a partir desse cálculo, decidir se elas são linearmente independentes ou dependentes. Para isso vamos usar a definição de Wronskiano de três funções e o critério de que, se o Wronskiano é identicamente zero num intervalo, então as funções são linearmente dependentes nesse intervalo.
Passo 2
Calculamos as derivadas de primeira e segunda ordem de cada função:
Para \displaystyle f_{1}(x)=e^{x}: \displaystyle f_{1}'(x)=e^{x}, \displaystyle f_{1}''(x)=e^{x}.
Para \displaystyle f_{2}(x)=e^{-x}: \displaystyle f_{2}'(x)=-e^{-x}, \displaystyle f_{2}''(x)=e^{-x}.
Para \displaystyle f_{3}(x)=-e^{x}: \displaystyle f_{3}'(x)=-e^{x}, \displaystyle f_{3}''(x)=-e^{x}.
Passo 3
Montamos o Wronskiano W(x) como o determinante da matriz cujas colunas são as funções e suas derivadas: